Fuqia me eksponent zero dhe negativ. Veprime me fuqite

Fuqia me eksponent zero. Fuqia me eksponent negativ

Fuqitë, vetitë e fuqive i kemi marrë në klasën e shtatë. Kemi trajtuar:

Koncepti i fuqise
Vetite e fuqive

Tani do të mësojmë fuqitë me eksponent 0 dhe me eksponent negativ.

Me marrëveshje marrim: $\displaystyle {{a}^{0}}=1$ dhe $\displaystyle {{a}^{-n}}=\frac{1}{{{a}^{n}}}$ për $\displaystyle a\ne 0$ dhe $\displaystyle n\in N$ .

Vërejtje: Simbolet $\displaystyle {{0}^{0}}$ dhe $\displaystyle {{0}^{-n}}$ nuk kanë kuptim

Ushtrimi 1

Paraqitini në trajtë thyese fuqitë e meposhtëme:

a) $\displaystyle {{10}^{-5}}$

b) $\displaystyle {{3}^{-2}}$

c) $\displaystyle {{5}^{-3}}$

d) $\displaystyle {{2}^{-4}}$

e) $\displaystyle {{3}^{-3}}$

f) $\displaystyle {{8}^{-6}}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle {{10}^{-5}}$

$\displaystyle {{10}^{-5}}=\frac{1}{{{10}^{5}}}$

b) $\displaystyle {{3}^{-2}}$

$\displaystyle {{3}^{-2}}=\frac{1}{{{3}^{2}}}$

c) $\displaystyle {{5}^{-3}}$

$\displaystyle {{5}^{-3}}=\frac{1}{{{5}^{3}}}$

d) $\displaystyle {{2}^{-4}}$

$\displaystyle {{2}^{-4}}=\frac{1}{{{2}^{4}}}$

e) $\displaystyle {{3}^{-3}}$

$\displaystyle {{3}^{-3}}=\frac{1}{{{3}^{3}}}$

f) $\displaystyle {{8}^{-6}}$

$\displaystyle {{8}^{-6}}=\frac{1}{{{8}^{6}}}$

Veprime me fuqitë

Në klasën e shtatë jemi njohur me vetite e fuqive me eksponent natyrorë. Mund të provohet se këto veti janë të vërteta edhe në rastin e eksponentit zero, apo edge eksponentit negativ.

Kujtojme dhe njëherë vetitë e fuqive (dhe e anasjellta e tyre):

Shembull 1

Zbatoni vetitë e fuqive për të kryer veprimet:

a) $\displaystyle {{4}^{-3}}\cdot {{4}^{7}}$

b) $\displaystyle {{5}^{-2}}\cdot {{5}^{6}}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle {{4}^{-3}}\cdot {{4}^{7}}=\frac{1}{{{4}^{3}}}\cdot {{4}^{7}}$

$\displaystyle =\frac{{{4}^{7}}}{{{4}^{3}}}={{4}^{7-3}}={{4}^{4}}$

$\displaystyle {{4}^{-3}}\cdot {{4}^{7}}={{4}^{4}}$

b) $\displaystyle {{5}^{-2}}\cdot {{5}^{6}}$

$\displaystyle {{5}^{-2}}\cdot {{5}^{6}}=\frac{1}{{{5}^{2}}}\cdot {{5}^{6}}$

$\displaystyle =\frac{{{5}^{6}}}{{{5}^{2}}}={{5}^{6-2}}={{5}^{4}}$

$\displaystyle {{5}^{-2}}\cdot {{5}^{6}}={{5}^{4}}$

Shembull 2

Të vërtetojmë vetinë 4 në rastin kur eksponenti është numër negativ.

$\displaystyle {{\left( abc \right)}^{-n}}=\frac{1}{{{\left( abc \right)}^{n}}}=\frac{1}{{{a}^{n}}{{b}^{n}}{{c}^{n}}}$

$\displaystyle =\frac{1}{{{a}^{n}}}\cdot \frac{1}{{{b}^{n}}}\cdot \frac{1}{{{c}^{n}}}={{a}^{-n}}\cdot {{b}^{-n}}\cdot {{c}^{-n}}$

Ushtrimi 1

Duke zbatuar vetitë e vetive të fuqive, gjeni vlerën e shprehjes:

$\displaystyle A=\frac{{{\left( {{4}^{2}} \right)}^{3}}\cdot {{\left( {{2}^{-3}} \right)}^{2}}}{{{8}^{3}}}$

Zgjidhje

Vëmë re, se të gjitha fuqitë mund të paraqiten në trajtën e fuqive me bazë 2.

Kemi:

$\displaystyle A=\frac{{{\left( {{4}^{2}} \right)}^{3}}\cdot {{\left( {{2}^{-3}} \right)}^{2}}}{{{8}^{3}}}$

$\displaystyle =\frac{{{2}^{12}}\cdot {{2}^{-6}}}{{{2}^{9}}}=\frac{{{2}^{12-6}}}{{{2}^{9}}}$

$\displaystyle =\frac{{{2}^{6}}}{{{2}^{9}}}={{2}^{6-9}}={{2}^{-3}}$

$\displaystyle =\frac{1}{{{2}^{3}}}=\frac{1}{8}$