Llogaritja e siperfaqeve te figurave plane

Llogaritja e siperfaqeve te figurave plane

Metodat e gjeometrisë elementare që ne njohim, japin kuptimin e sipërfaqes së figurës dhe mundësinë e llogaritjes së saj për një klasë pothuajse të ngushtë figurash plane, siç janë trekëndëshi, katërkëndëshi etj.

Problem i përgjithshëm gjeometrik i përcaktimit të figurës plane të kufizuar nga një vijë e çfarëdoshme u bë e mundur të zgjidhet me anë të njehsimit integral.

Rasti i parë që do shohim është figura plane e quajtur trapez vijëpërkulur.

Le të jepet funksioni $\displaystyle y=f\left( x \right)$ i vazhdueshëm dhe pozitiv në $\displaystyle \left[ a,b \right]$ .

Figura plane e kufizuar nga boshti i abshisave Ox, dy drejtëza me ekuacione $\displaystyle x=a$ dhe $\displaystyle x=b$ dhe grafiku i funksionit $\displaystyle y=f\left( x \right)$ në segmentin $\displaystyle \left[ a,b \right]$ quhet trapez vijëpërkulur.

Do të pranojmë pa vërtetim që sipërfaqja e këtij trapezi jepet me formulën:

$\displaystyle S=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)}dx$ .

Ushtrimi 1

Të llogaritet sipërfaqja e figurave plane të kufizuara nga vijat:

a) $\displaystyle y=-{{x}^{2}}-1$ ; $\displaystyle y=0$ ; $\displaystyle x=0$ ; $\displaystyle x=2$

b) $\displaystyle y={{e}^{x}}$ ; $\displaystyle y=0$ ; $\displaystyle x=-1$ ; $\displaystyle x=0$

c) $\displaystyle y=x$ ; $\displaystyle x=2$ ; $\displaystyle x=4$

Zgjidhje

a) $\displaystyle y=-{{x}^{2}}-1$

$\displaystyle S=\int\limits_{0}^{2}{\left( -{{x}^{2}}-1 \right)}dx$

$\displaystyle =\left( -\frac{{{x}^{3}}}{3}-x \right)|_{0}^{2}=|-\frac{8}{3}-2|$

$\displaystyle |\frac{-14}{3}|=\frac{14}{3}$

b) $\displaystyle y={{e}^{x}}$

$\displaystyle S=\int\limits_{-1}^{0}{{{e}^{x}}}dx={{e}^{x}}|_{-1}^{0}$

$\displaystyle ={{e}^{0}}-{{e}^{-1}}=1-\frac{1}{e}$

c) $\displaystyle y=x$

$\displaystyle S=\int\limits_{2}^{4}{x}dx=\frac{{{x}^{2}}}{2}|_{2}^{4}$

$\displaystyle \left( \frac{16}{2}-\frac{4}{2} \right)=6$

Rasti i përgjithshëm

Figura plane jepet nga vijat $\displaystyle y=f\left( x \right)$ ; $\displaystyle y=g\left( x \right)$ dhe drejtëzat $\displaystyle x=a$ dhe $\displaystyle x=b$ .