Ekuacioni trinom, bikuadrat dhe irracional | Matematika 10

Ekuacioni trinom

Ekuacioni me trajtë kanonike $\displaystyle a{{x}^{2n}}+b{{x}^{n}}+c=0$ quhet ekuacion trinom (n numër natyror, a, b, c numra realë, $\displaystyle a\ne 0$ dhe x i panjohur).

Për vlera të ndryshmë të n-së ekuacioni merr emërtime të ndryshme.

Për n = 1 ekuacioni quhet i fuqisë së dytë dhe ka trajtë kanonike $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$
Për n = 2 ekuacioni merr trajtën $\displaystyle a{{x}^{4}}+b{{x}^{2}}+c=0$ dhe quhet ekuacion bikuadrat.

Ekuacionet trinome për n > 1 kthehen në ekuacione të fuqisë së dytë nëse kryejmë zëvëndësimin $\displaystyle {{x}^{n}}=t$ .

Meqë ekuacionet e fuqisë së dytë i kemi trajtuar më herët, sot do të trajtojmë ekuacionin trinom.

Shembull 1

Të zgjidhet ekuacioni bikuadrat: $\displaystyle {{x}^{4}}-6{{x}^{2}}+5=0$ .

Zgjidhje

Zëvëndësojmë $\displaystyle {{x}^{2}}=t$ dhe do të kemi:

$\displaystyle {{t}^{2}}-6t+5=0$

Tani e zgjidhim si ekuacion i fuqisë së dytë me një ndryshore. Gjejmë dallorin:

$\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$

$\displaystyle D={{6}^{2}}-4\cdot 1\cdot 5=16$

$\displaystyle D>0$ , pra ekuacioni ka dy zgjidhje:

$\displaystyle _{1}{{t}_{2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$\displaystyle {{t}_{1}}=\frac{6-4}{2}=1$

$\displaystyle {{t}_{2}}=\frac{6+4}{2}=5$

Tani gjejmë vlerat e x-it:

$\displaystyle {{x}_{1}}=\sqrt{{{t}_{1}}}=\pm 1$

$\displaystyle {{x}_{2}}=\sqrt{{{t}_{2}}}=\pm 5$

Përfundim: Rrënjët e ekuacionit bikuadrat janë elemëntët e bashkësisë $\displaystyle A=\left\{ -5,-1,1,5 \right\}$ .

Ekuacionet irracionale

Përkufizim: “Çdo ekuacion që të panjohurën e ka nën shënjën e rrënjës quhet ekuacion irracional”.

Teoremë 1: “Nëse të dyja anët e një ekuacioni i ngremë në fuqi çift fitohet një ekuacion i ri, i cili nuk është i njëvlershëm me të parin”.

Teoremë 2: “Nëse të dyja anët e një ekuacioni i ngremë në fuqi tek fitohet një ekuacion i ri, i cili është i njëvlershëm me të parin, prandaj kanë të njëjtën bashkësi zgjidhjesh”.

Ne do të trajtojmë ekuacionet irracionale që kanë rrënjë katrore.

Rrugët që ndiqen për të zgjidhur ekuacionet irracionale:

Nëse ekuacioni ka një rrënjë ajo lihet nga ana e majtë e ekuacionit dhe kufizat e tjera nga ana e djathtë. Nëse ekuacioni ka dy rrënjë, një lihet nga ana e majtë dhe tjetra nga e djathta me kufizat e tjera. Nëse ka tri rrënjë, një lihet nga e djathta dhe 2 nga e majta.
Ngrihen të dyja anët në fuqi sa është treguesi i rrënjës. Kur ekuacioni është me dy dhe tri rrënjë mbas ngritjes në fuqi kalohet tek rasti me një rrënjë.
Zgjidhet ekuacioni i fituar pas ngritjes në fuqi.
Bëhet prova e rrënjëve të gjetura tek ekuacioni fillestar. Ato që e vërtetojnë janë rrënjë të tij.