Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Derivati i funksionit te perbere

Derivati i funksionit te perbere

derivati i perbere

Derivati i funksionit te perbere

Teoremë:

Le të jetë \displaystyle g:u=u\left( x \right) një funksion i përcaktuar në intervalin I dhe \displaystyle f:y=f\left( u \right) një funksion i përcaktuar në intervalin J që e përfshin bashkësinë e vlerave të u. Nëse g është i derivueshëm në lidhje me x në pikën \displaystyle {{x}_{1}} dhe \displaystyle f:y=f\left( u \right) është i derivueshëm, në lidhje me u në pikën \displaystyle {{u}_{1}} ku \displaystyle {{u}_{1}}=u\left( {{x}_{1}} \right), atëherë edhe funksioni i perbere \displaystyle fog:y=f\left[ u\left( x \right) \right] është i derivueshëm në lidhje me x në pikën \displaystyle {{x}_{1}} dhe ka vend barazimi:

qese plastike

\displaystyle y_{x}^{'}\left( {{x}_{1}} \right)=y_{u}^{'}\left( {{u}_{1}} \right)\cdot {{u}_{x}}\left( {{x}_{1}} \right).

 

Vërejtje:

Nëse funksioni \displaystyle g:u=u\left( x \right) është i derivueshëm në pikën x, ndërsa funksioni \displaystyle f:y=f\left( u \right) është i derivueshëm në lidhje me u, në pikën \displaystyle u\left( x \right), atëherë funksioni i perbere \displaystyle fog:y=f\left[ u\left( x \right) \right] është i derivueshëm në pikën x dhe do të kemi:

\displaystyle y_{x}^{'}=f_{u}^{'}\left[ u\left( x \right) \right]\cdot u'\left( x \right).

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Rrjedhim:

Nëse funksioni \displaystyle u=u\left( x \right) është i derivueshëm në pikën x, për të gjetur derivatin e funksionit të perbere në disa raste të vëçanta mund të përdoret tabela e mëposhtme:

Funksioni Derivati në lidhje me u, në pikën u Derivati në lidhje me x, në pikën x
\displaystyle y=\sqrt{u} \displaystyle y'\left( u \right)=\frac{1}{2\sqrt{u}} \displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\left( x \right)
\displaystyle y={{u}^{\alpha }} \displaystyle y'\left( u \right)=\alpha \cdot {{u}^{\alpha -1}} \displaystyle y'\left( x \right)=\alpha \cdot {{u}^{\alpha -1}}\cdot u'\left( x \right)
\displaystyle y=\sin u \displaystyle y'\left( u \right)=\cos u \displaystyle y'\left( x \right)=\cos u\cdot u'\left( x \right)
\displaystyle y=\cos u \displaystyle y'\left( u \right)=-\sin u \displaystyle y'\left( x \right)=-\sin u\cdot u'\left( x \right)
\displaystyle y={{e}^{u}} \displaystyle y'\left( u \right)={{e}^{u}} \displaystyle y'\left( x \right)={{e}^{u}}\cdot u'\left( x \right)
\displaystyle y=\operatorname{lnu} \displaystyle y'\left( u \right)=\frac{1}{u} \displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{u}\cdot u'\left( x \right)
\displaystyle y=tgu \displaystyle y'\left( u \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}u} \displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}u}\cdot u'\left( x \right)

 

qese plastike

 

 

 

Ushtrime të zgjidhura

Ushtrimi 1

Gjeni derivatin e funksioneve të perbere në pikën x:

a) \displaystyle y={{e}^{5x}}

b) \displaystyle y=\sqrt{{{x}^{2}}+3}

c) \displaystyle y=\sin \left( 3x+1 \right)

d) \displaystyle y={{\left( x+5 \right)}^{3}}

 

 

Zgjidhje

Për zgjidhjen e këtyre ushtrimeve i referohemi tabelës së mësipërme.

a) \displaystyle y={{e}^{5x}}

\displaystyle y'\left( x \right)={{e}^{u}}\cdot u'\left( x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)={{e}^{5x}}\cdot 5

\displaystyle y'\left( x \right)=5\cdot {{e}^{5x}}

 

b) \displaystyle y=\sqrt{{{x}^{2}}+3}

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\left( x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+3}}\cdot 2x

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}

 

c) \displaystyle y=\sin \left( 3x+1 \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=\cos u\cdot u'\left( x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=\cos \left( 3x+1 \right)\cdot 3

\displaystyle y'\left( x \right)=3\cos \left( 3x+1 \right)

 

d) \displaystyle y={{\left( x+5 \right)}^{3}}

\displaystyle y'\left( x \right)=\alpha \cdot {{u}^{\alpha -1}}\cdot u'\left( x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=3\cdot {{u}^{3}}\cdot 1

\displaystyle y'\left( x \right)=3{{u}^{3}}

 

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

 

Ushtrimi 2

Gjeni derivatin në pikën x për funksionin:

a) \displaystyle y=\sqrt{7-x}

b) \displaystyle y=\sqrt{\sin x}

c) \displaystyle y={{x}^{2}}+\sin \left( \pi -x \right)

d) \displaystyle y=\sin \left( \frac{x}{2} \right)

 

Zgjidhje

a) \displaystyle y=\sqrt{7-x}

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\left( x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{7-x}}\cdot \left( -1 \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=-\frac{1}{2\sqrt{7-x}}

 

b) \displaystyle y=\sqrt{\sin x}

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\left( x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot \cos x

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}

 

c) \displaystyle y={{x}^{2}}+\sin \left( \pi -x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}} \right)'+\cos u\cdot u'\left( x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=2x+\cos \left( \pi -x \right)\cdot \left( -1 \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=2x-\cos \left( \pi -x \right)

 

d) \displaystyle y=\sin \left( \frac{x}{2} \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=\cos u\cdot u'\left( x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=\cos \frac{x}{2}\cdot \frac{1}{2}

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}

 

 

Ushtrimi 3

Gjeni derivatin në pikën x për funksionin:

a) \displaystyle y={{\left( {{x}^{2}}-x \right)}^{3}}

b) \displaystyle y=\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}

c) \displaystyle y={{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}

d) \displaystyle y=\cos 3x

 

Zgjidhje

a) \displaystyle y={{\left( {{x}^{2}}-x \right)}^{3}}

\displaystyle y'\left( x \right)=\alpha \cdot {{u}^{\alpha -1}}\cdot {u}'\left( x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=3\cdot {{\left( {{x}^{2}}-x \right)}^{2}}\cdot \left( 2x-1 \right)

 

b) \displaystyle y=\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot {u}'\left( x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}}\cdot \left( \frac{x-1}{x-2} \right)'

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}}\cdot \frac{\left( x-2 \right)-\left( x-1 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}}\cdot \frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}

\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}\cdot {{\left( x-2 \right)}^{2}}}

 

c) \displaystyle y={{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}

\displaystyle y'\left( x \right)={{e}^{u}}\cdot {u}'\left( x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)={{e}^{^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}}\cdot x

\displaystyle y'\left( x \right)=x{{e}^{^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}}

 

d) \displaystyle y=\cos 3x

\displaystyle y'\left( x \right)=-\operatorname{sinu}\cdot {u}'\left( x \right)

\displaystyle y'\left( x \right)=-\sin 3x\cdot 3

\displaystyle y'\left( x \right)=-3\sin 3x

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

qese plastike

Copyright © detyra.al
Derivati i funksionit te perberefunksioni i perberesi gjendet derivati i funksionit te perbereushtrime te zgjidhura matematike

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al