Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Derivatet  e funksioneve logaritmike, fuqi, eksponenciale, trigonometrike

Derivatet  e funksioneve logaritmike, fuqi, eksponenciale, trigonometrike

derivatet e funksioneve

Derivatet e funksioneve logaritmike

Teorema 1: Funksioni logaritmik \displaystyle f:y={{\log }_{a}}x (ku \displaystyle a>0 dhe \displaystyle a\ne 1) ka derivat në çdo pikë x(ku \displaystyle x>0) dhe ky derivat është \displaystyle \frac{1}{x\cdot \operatorname{lna}}.

Pra, \displaystyle \left( {{\log }_{a}}x \right)'=\frac{1}{x\cdot \ln a}.

qese plastike

 

Rrjedhim: Funksioni \displaystyle y=lnx ka derivat në çdo pikë x (x>0) dhe \displaystyle \left( lnx \right)'=\frac{1}{x}.

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

 

Derivati i funksionit eksponencial

Teorema 2: Funksioni eksponencial \displaystyle u:{{a}^{x}} (ku \displaystyle a>0 dhe \displaystyle a\ne 1) në çdo pikë \displaystyle x\in R ka derivat dhe ky derivat është \displaystyle {{a}^{x}}\ln a.

Pra, \displaystyle \left( {{a}^{x}} \right)'={{a}^{x}}\ln a.

 

Rast i veçantë: Kur a=e, kemi funksionin \displaystyle y={{e}^{x}}. Derivati i tij në pikën x është \displaystyle {{e}^{x}}\cdot \ln e={{e}^{x}}.

Pra, \displaystyle \left( {{e}^{x}} \right)'={{e}^{x}}.

 

 


 

Derivatet e funksioneve fuqi

Teorema 3: Funksioni fuqi \displaystyle u={{x}^{\alpha }}  (ku \displaystyle \alpha \in R) në çdo pikë x (x>0) ka derivat dhe ai është \displaystyle u'\left( x \right)=\alpha \cdot {{x}^{\alpha -1}}.

Pra, \displaystyle \left( {{x}^{\alpha }} \right)'=\alpha \cdot {{x}^{\alpha -1}}.

 

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

 

Derivatet e funksioneve sinx dhe cosx

Teorema 4: Funksioni \displaystyle f:y=\sin x në çdo pikë \displaystyle x\in R ka derivat dhe ky është \displaystyle f'\left( x \right)=\cos x.

Pra, \displaystyle \left( \sin x \right)'=\cos x.

 

Teorema 5: Funksioni \displaystyle f:y=\cos x ka derivat në çdo pikë \displaystyle x\in R dhe ky derivat është \displaystyle f'\left( x \right)=-\sin x.

Pra, \displaystyle \left( \cos x \right)'=-\sin x.

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

 

Ushtrime të zgjidhura

Ushtrimi 1

Gjeni derivatin në pikën x për funksionin:

a) \displaystyle y={{x}^{2}}\cdot \ln x

b) \displaystyle y=2x-\ln x

 

Zgjidhje

a) \displaystyle y={{x}^{2}}\cdot \ln x

Sipas përkufizimit të derivatit të prodhimit shkruajmë:

\displaystyle {{\left( {{x}^{2}}\cdot \ln x \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}\cdot \ln x+{{x}^{2}}\cdot \left( \ln x \right)'

\displaystyle =2x\cdot lnx+{{x}^{2}}\cdot \frac{1}{x}

\displaystyle =2x\cdot lnx+x

\displaystyle =x\left( 2\ln x+1 \right)

 

qese plastike

b) \displaystyle y=2x-\ln x

Sipas përkufizimit të derivatit të shumës shkruajmë:

\displaystyle \left( 2x-\ln x \right)'=\left( 2x \right)'-\left( \ln x \right)'

\displaystyle =2-\frac{1}{x}

 

 

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

 

Ushtrimi 2

Gjeni derivatin në pikën x për funksionin:

a) \displaystyle y={{x}^{3}}\cdot {{5}^{x}}

b) \displaystyle y=\left( {{x}^{2}}-2x \right)\cdot {{e}^{x}}

c) \displaystyle y=\frac{{{e}^{x}}}{1+{{e}^{x}}}

d) \displaystyle y=\sqrt{x}\cdot {{e}^{x}}

 

Zgjidhje

a) \displaystyle y={{x}^{3}}\cdot {{5}^{x}}

\displaystyle {{\left( {{x}^{3}}\cdot {{5}^{x}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}\cdot {{5}^{x}}+{{x}^{3}}\cdot \left( {{5}^{x}} \right)'

\displaystyle =3{{x}^{2}}\cdot {{5}^{x}}+{{x}^{3}}\cdot {{5}^{x}}\cdot \ln x

\displaystyle ={{x}^{2}}\cdot {{5}^{x}}\left( 3+x\ln x \right)

 

b) \displaystyle y=2x-\ln x

\displaystyle \left( 2x-\ln x \right)'=\left( 2x \right)'-\left( \ln x \right)'

\displaystyle =2-\frac{1}{x}

 

c) \displaystyle y=\frac{{{e}^{x}}}{1+{{e}^{x}}}

Sipas përkufizimit të derivatit të raportit, shkruajmë:

\displaystyle y'=\frac{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}\cdot \left( 1+{{e}^{x}} \right)-{{e}^{x}}\cdot {{\left( 1+{{e}^{x}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( 1+{{e}^{x}} \right)}^{2}}}

\displaystyle =\frac{{{e}^{x}}\cdot \left( 1+{{e}^{x}} \right)-{{e}^{x}}\cdot {{e}^{x}}}{{{\left( 1+{{e}^{x}} \right)}^{2}}}

\displaystyle =\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{2x}}-{{e}^{2x}}}{{{\left( 1+{{e}^{x}} \right)}^{2}}}

\displaystyle =\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( 1+{{e}^{x}} \right)}^{2}}}

 

 

d) \displaystyle y=\sqrt{x}\cdot {{e}^{x}}

\displaystyle {{\left( \sqrt{x}\cdot {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}\cdot {{e}^{x}}+\sqrt{x}\cdot \left( {{e}^{x}} \right)'

\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot {{e}^{x}}+\sqrt{x}\cdot {{e}^{x}}

\displaystyle =\frac{\sqrt{x}}{2x}\cdot {{e}^{x}}+\sqrt{x}\cdot {{e}^{x}}

\displaystyle ={{e}^{x}}\sqrt{x}\left( \frac{1}{2x}+1 \right)

 

 

 

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

 

Ushtrimi 2

Gjeni derivatin në pikën x për funksionin:

a) \displaystyle y=2\sin x+3\cos x

b) \displaystyle y=\sin 2x

c) \displaystyle y=\cos 2x

 

Zgjidhje

a) \displaystyle y=2\sin x+3\cos x

\displaystyle \left( 2\sin x+3\cos x \right)'=2\left( \sin x \right)'+3\left( \cos x \right)'

\displaystyle =2\cos x-3\sin x

 

b) \displaystyle y=\sin 2x

E transformojmë funksionin:

\displaystyle y=2\sin x\cdot \cos x

\displaystyle {y}'=2{{\left( \sin x \right)}^{\prime }}\cdot \cos x+2\sin x\cdot \left( \cos x \right)'

\displaystyle =2co{{s}^{2}}x-2{{\sin }^{2}}x

\displaystyle =2\left( co{{s}^{2}}x-{{\sin }^{2}}x \right)

\displaystyle =2\cos 2x

 

c) \displaystyle y=\cos 2x

\displaystyle \cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x

\displaystyle y'={{\sin }^{2}}x-{{\cos }^{2}}x

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Matematika 7Matematika 7
  • Matematika 8Matematika 8
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • MatematikaMatematika
  • Matematika 10Matematika 10
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • Provimi i lirimitProvimi i lirimit
  • Numrat e ThjeshteNumrat e Thjeshte
  • PesekendeshatPesekendeshat
  • Matematika 9Matematika 9
  • Matematika 12Matematika 12
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • Matematika 6Matematika 6
  • Matematika BazeMatematika Baze
Derivatet e funksioneve sinx dhe cosxDerivati i funksionit eksponencialDerivati i funksionit fuqiDerivati i funksionit logaritmikderivati i funksionit y=cosxderivati i funksionit y=sinx

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika 8
  • Matematika Baze
  • Matematika 11
  • Matematika 6
  • Matematika 7
  • Provimi i lirimit
  • Matematika 10
  • Matematika
  • Matematika 12
  • Matematika 9

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al