Derivatet e funksioneve logaritmike, fuqi, eksponenciale, trigonometrike

Derivatet e funksioneve logaritmike

Teorema 1: Funksioni logaritmik $\displaystyle f:y={{\log }_{a}}x$ (ku $\displaystyle a>0$ dhe $\displaystyle a\ne 1$ ) ka derivat në çdo pikë x(ku $\displaystyle x>0$ ) dhe ky derivat është $\displaystyle \frac{1}{x\cdot \operatorname{lna}}$ .

Pra, $\displaystyle \left( {{\log }_{a}}x \right)'=\frac{1}{x\cdot \ln a}$ .

Rrjedhim: Funksioni $\displaystyle y=lnx$ ka derivat në çdo pikë x (x>0) dhe $\displaystyle \left( lnx \right)'=\frac{1}{x}$ .

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Derivati i funksionit eksponencial

Teorema 2: Funksioni eksponencial $\displaystyle u:{{a}^{x}}$ (ku $\displaystyle a>0$ dhe $\displaystyle a\ne 1$ ) në çdo pikë $\displaystyle x\in R$ ka derivat dhe ky derivat është $\displaystyle {{a}^{x}}\ln a$ .

Pra, $\displaystyle \left( {{a}^{x}} \right)'={{a}^{x}}\ln a$ .

Rast i veçantë: Kur a=e, kemi funksionin $\displaystyle y={{e}^{x}}$ . Derivati i tij në pikën x është $\displaystyle {{e}^{x}}\cdot \ln e={{e}^{x}}$ .

Pra, $\displaystyle \left( {{e}^{x}} \right)'={{e}^{x}}$ .

Derivatet e funksioneve fuqi

Teorema 3: Funksioni fuqi $\displaystyle u={{x}^{\alpha }}$ (ku $\displaystyle \alpha \in R$ ) në çdo pikë x (x>0) ka derivat dhe ai është $\displaystyle u'\left( x \right)=\alpha \cdot {{x}^{\alpha -1}}$ .

Pra, $\displaystyle \left( {{x}^{\alpha }} \right)'=\alpha \cdot {{x}^{\alpha -1}}$ .

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Derivatet e funksioneve sinx dhe cosx

Teorema 4: Funksioni $\displaystyle f:y=\sin x$ në çdo pikë $\displaystyle x\in R$ ka derivat dhe ky është $\displaystyle f'\left( x \right)=\cos x$ .

Pra, $\displaystyle \left( \sin x \right)'=\cos x$ .

Teorema 5: Funksioni $\displaystyle f:y=\cos x$ ka derivat në çdo pikë $\displaystyle x\in R$ dhe ky derivat është $\displaystyle f'\left( x \right)=-\sin x$ .

Pra, $\displaystyle \left( \cos x \right)'=-\sin x$ .

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Ushtrime të zgjidhura

Ushtrimi 1

Gjeni derivatin në pikën x për funksionin:

a) $\displaystyle y={{x}^{2}}\cdot \ln x$

b) $\displaystyle y=2x-\ln x$

Zgjidhje

a) $\displaystyle y={{x}^{2}}\cdot \ln x$

Sipas përkufizimit të derivatit të prodhimit shkruajmë:

$\displaystyle {{\left( {{x}^{2}}\cdot \ln x \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{2}} \right)}^{\prime }}\cdot \ln x+{{x}^{2}}\cdot \left( \ln x \right)'$

$\displaystyle =2x\cdot lnx+{{x}^{2}}\cdot \frac{1}{x}$

$\displaystyle =2x\cdot lnx+x$

$\displaystyle =x\left( 2\ln x+1 \right)$

b) $\displaystyle y=2x-\ln x$

Sipas përkufizimit të derivatit të shumës shkruajmë:

$\displaystyle \left( 2x-\ln x \right)'=\left( 2x \right)'-\left( \ln x \right)'$

$\displaystyle =2-\frac{1}{x}$

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Ushtrimi 2

Gjeni derivatin në pikën x për funksionin:

a) $\displaystyle y={{x}^{3}}\cdot {{5}^{x}}$

b) $\displaystyle y=\left( {{x}^{2}}-2x \right)\cdot {{e}^{x}}$

c) $\displaystyle y=\frac{{{e}^{x}}}{1+{{e}^{x}}}$

d) $\displaystyle y=\sqrt{x}\cdot {{e}^{x}}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle y={{x}^{3}}\cdot {{5}^{x}}$

$\displaystyle {{\left( {{x}^{3}}\cdot {{5}^{x}} \right)}^{\prime }}={{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}\cdot {{5}^{x}}+{{x}^{3}}\cdot \left( {{5}^{x}} \right)'$

$\displaystyle =3{{x}^{2}}\cdot {{5}^{x}}+{{x}^{3}}\cdot {{5}^{x}}\cdot \ln x$

$\displaystyle ={{x}^{2}}\cdot {{5}^{x}}\left( 3+x\ln x \right)$

b) $\displaystyle y=2x-\ln x$

$\displaystyle \left( 2x-\ln x \right)'=\left( 2x \right)'-\left( \ln x \right)'$

$\displaystyle =2-\frac{1}{x}$

c) $\displaystyle y=\frac{{{e}^{x}}}{1+{{e}^{x}}}$

Sipas përkufizimit të derivatit të raportit, shkruajmë:

$\displaystyle y'=\frac{{{\left( {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}\cdot \left( 1+{{e}^{x}} \right)-{{e}^{x}}\cdot {{\left( 1+{{e}^{x}} \right)}^{\prime }}}{{{\left( 1+{{e}^{x}} \right)}^{2}}}$

$\displaystyle =\frac{{{e}^{x}}\cdot \left( 1+{{e}^{x}} \right)-{{e}^{x}}\cdot {{e}^{x}}}{{{\left( 1+{{e}^{x}} \right)}^{2}}}$

$\displaystyle =\frac{{{e}^{x}}+{{e}^{2x}}-{{e}^{2x}}}{{{\left( 1+{{e}^{x}} \right)}^{2}}}$

$\displaystyle =\frac{{{e}^{x}}}{{{\left( 1+{{e}^{x}} \right)}^{2}}}$

d) $\displaystyle y=\sqrt{x}\cdot {{e}^{x}}$

$\displaystyle {{\left( \sqrt{x}\cdot {{e}^{x}} \right)}^{\prime }}={{\left( \sqrt{x} \right)}^{\prime }}\cdot {{e}^{x}}+\sqrt{x}\cdot \left( {{e}^{x}} \right)'$