Elipsi dhe ekuacioni i tij

Elipsi është bashkësia e pikave të planit, shuma e largesave të të cilave nga dy pika të dhëna të planit është madhësi konstante.

Për të nxjerrë ekuacionin e elipsit, zgjedhim si bosht të abshisave drejtëzën që bashkon dy vatrat, ndërsa origjinën e koordinatave e caktojmë në mesin e e segmentit që bashkon vatrat.

Shënojmë me 2c largesën ndërmjet vatrave $\displaystyle {{F}_{1}}$ dhe $\displaystyle {{F}_{2}}$ . Do të kemi $\displaystyle {{F}_{1}}\left( -c,0 \right)$ dhe $\displaystyle {{F}_{2}}\left( c,0 \right)$ .

Shënojmë $\displaystyle M\left( x,y \right)$ një pikë çfarëdo të elipsit. Segmentet $\displaystyle M{{F}_{1}}$ dhe $\displaystyle M{{F}_{2}}$ quhen rreze vatrore të pikës M. gjatësitë e tyre i shënojmë $\displaystyle {{r}_{1}}$ dhe $\displaystyle {{r}_{2}}$ .

Kemi $\displaystyle {{r}_{1}}={{M}_{1}}=\sqrt{{{\left( x+c \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$ dhe $\displaystyle {{r}_{2}}={{M}_{1}}=\sqrt{{{\left( x-c \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}$ .

Sipas përkufizimit, shuma $\displaystyle {{r}_{1}}+{{r}_{2}}$ është madhësi konstante. E shënojmë atë me $\displaystyle 2a$ .

Pra, kemi $\displaystyle {{r}_{1}}+{{r}_{2}}=2a$ ose $\displaystyle \sqrt{{{\left( x+c \right)}^{2}}+{{y}^{2}}}=2a$ .

Ky është ekuacioni i elipsit.

Duke bërë disa shndërrime identike, arrijmë në përfundimin:

$\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}+\frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ ku $\displaystyle {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}$ , i cili quhet ekuacioni më i thjeshtë i elipsit.

Shembull 1

Të gjendet ekuacioni i elipsit duke ditur se largesa ndërmjet vatrave është është 10 cm, ndërsa shuma e e rrezeve vatrore është 12 cm.

Zgjidhje

Largesa ndërmjet vatrave është 2c, pra $\displaystyle 2c=10$ ; $\displaystyle c=5$ .

Shuma e e rrezeve vatrore është 2a, pra $\displaystyle 2a=12$ ; $\displaystyle a=6$ .

Nga formula $\displaystyle {{b}^{2}}={{a}^{2}}-{{c}^{2}}$ gjejmë b:

$\displaystyle {{b}^{2}}={{6}^{2}}-{{5}^{2}}$ .

$\displaystyle {{b}^{2}}=36-25=11$ .

Pra, ekuacioni i elipsit është:

$\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{36}+\frac{{{y}^{2}}}{11}=1$

Forma e elipsit

Simetria

Boshtet koordinative janë boshte simetrie për elipsin, ndërsa origjina e koordinatave është qendër simetrie e tij. Kjo quhet qendër e elipsit.

Pikat e prerjes me boshtet

Duke marr $\displaystyle y=0$ , kemi $\displaystyle \frac{{{x}^{2}}}{{{a}^{2}}}=1$ , pra $\displaystyle x=\pm a$ . Pikat $\displaystyle A\left( -a,0 \right)$ dhe $\displaystyle {{A}_{1}}\left( a,0 \right)$ janë pikat e prerjes së elipsit me boshtin e abshisave.

Duke marr $\displaystyle x=0$ , kemi $\displaystyle \frac{{{y}^{2}}}{{{b}^{2}}}=1$ , pra $\displaystyle y=\pm b$ . Pikat $\displaystyle B\left( -b,0 \right)$ dhe $\displaystyle {{B}_{1}}\left( b,0 \right)$ janë pikat e prerjes së elipsit me boshtin e ordinatave.