Derivati i funksionit te perbere | Matematika 12

Derivati i funksionit te perbere

Teoremë:

Le të jetë $\displaystyle g:u=u\left( x \right)$ një funksion i përcaktuar në intervalin I dhe $\displaystyle f:y=f\left( u \right)$ një funksion i përcaktuar në intervalin J që e përfshin bashkësinë e vlerave të u. Nëse g është i derivueshëm në lidhje me x në pikën $\displaystyle {{x}_{1}}$ dhe $\displaystyle f:y=f\left( u \right)$ është i derivueshëm, në lidhje me u në pikën $\displaystyle {{u}_{1}}$ ku $\displaystyle {{u}_{1}}=u\left( {{x}_{1}} \right)$ , atëherë edhe funksioni i perbere $\displaystyle fog:y=f\left[ u\left( x \right) \right]$ është i derivueshëm në lidhje me x në pikën $\displaystyle {{x}_{1}}$ dhe ka vend barazimi:

$\displaystyle y_{x}^{'}\left( {{x}_{1}} \right)=y_{u}^{'}\left( {{u}_{1}} \right)\cdot {{u}_{x}}\left( {{x}_{1}} \right)$ .

Vërejtje:

Nëse funksioni $\displaystyle g:u=u\left( x \right)$ është i derivueshëm në pikën x, ndërsa funksioni $\displaystyle f:y=f\left( u \right)$ është i derivueshëm në lidhje me u, në pikën $\displaystyle u\left( x \right)$ , atëherë funksioni i perbere $\displaystyle fog:y=f\left[ u\left( x \right) \right]$ është i derivueshëm në pikën x dhe do të kemi:

$\displaystyle y_{x}^{'}=f_{u}^{'}\left[ u\left( x \right) \right]\cdot u'\left( x \right)$ .

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Rrjedhim:

Nëse funksioni $\displaystyle u=u\left( x \right)$ është i derivueshëm në pikën x, për të gjetur derivatin e funksionit të perbere në disa raste të vëçanta mund të përdoret tabela e mëposhtme:

Funksioni	Derivati në lidhje me u, në pikën u	Derivati në lidhje me x, në pikën x
$\displaystyle y=\sqrt{u}$	$\displaystyle y'\left( u \right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}$	$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\left( x \right)$
$\displaystyle y={{u}^{\alpha }}$	$\displaystyle y'\left( u \right)=\alpha \cdot {{u}^{\alpha -1}}$	$\displaystyle y'\left( x \right)=\alpha \cdot {{u}^{\alpha -1}}\cdot u'\left( x \right)$
$\displaystyle y=\sin u$	$\displaystyle y'\left( u \right)=\cos u$	$\displaystyle y'\left( x \right)=\cos u\cdot u'\left( x \right)$
$\displaystyle y=\cos u$	$\displaystyle y'\left( u \right)=-\sin u$	$\displaystyle y'\left( x \right)=-\sin u\cdot u'\left( x \right)$
$\displaystyle y={{e}^{u}}$	$\displaystyle y'\left( u \right)={{e}^{u}}$	$\displaystyle y'\left( x \right)={{e}^{u}}\cdot u'\left( x \right)$
$\displaystyle y=\operatorname{lnu}$	$\displaystyle y'\left( u \right)=\frac{1}{u}$	$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{u}\cdot u'\left( x \right)$
$\displaystyle y=tgu$	$\displaystyle y'\left( u \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}u}$	$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{{{\cos }^{2}}u}\cdot u'\left( x \right)$

Ushtrime të zgjidhura

Ushtrimi 1

Gjeni derivatin e funksioneve të perbere në pikën x:

a) $\displaystyle y={{e}^{5x}}$

b) $\displaystyle y=\sqrt{{{x}^{2}}+3}$

c) $\displaystyle y=\sin \left( 3x+1 \right)$

d) $\displaystyle y={{\left( x+5 \right)}^{3}}$

Zgjidhje

Për zgjidhjen e këtyre ushtrimeve i referohemi tabelës së mësipërme.

a) $\displaystyle y={{e}^{5x}}$

$\displaystyle y'\left( x \right)={{e}^{u}}\cdot u'\left( x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)={{e}^{5x}}\cdot 5$

$\displaystyle y'\left( x \right)=5\cdot {{e}^{5x}}$

b) $\displaystyle y=\sqrt{{{x}^{2}}+3}$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\left( x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{{{x}^{2}}+3}}\cdot 2x$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}$

c) $\displaystyle y=\sin \left( 3x+1 \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\cos u\cdot u'\left( x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\cos \left( 3x+1 \right)\cdot 3$

$\displaystyle y'\left( x \right)=3\cos \left( 3x+1 \right)$

d) $\displaystyle y={{\left( x+5 \right)}^{3}}$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\alpha \cdot {{u}^{\alpha -1}}\cdot u'\left( x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=3\cdot {{u}^{3}}\cdot 1$

$\displaystyle y'\left( x \right)=3{{u}^{3}}$

Keshille! Per shembuj te zgjidhur shikoni Ushtrime te zgjidhura – Derivate

Ushtrimi 2

Gjeni derivatin në pikën x për funksionin:

a) $\displaystyle y=\sqrt{7-x}$

b) $\displaystyle y=\sqrt{\sin x}$

c) $\displaystyle y={{x}^{2}}+\sin \left( \pi -x \right)$

d) $\displaystyle y=\sin \left( \frac{x}{2} \right)$

Zgjidhje

a) $\displaystyle y=\sqrt{7-x}$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\left( x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{7-x}}\cdot \left( -1 \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=-\frac{1}{2\sqrt{7-x}}$

b) $\displaystyle y=\sqrt{\sin x}$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot u'\left( x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{\sin x}}\cdot \cos x$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}$

c) $\displaystyle y={{x}^{2}}+\sin \left( \pi -x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\left( {{x}^{2}} \right)'+\cos u\cdot u'\left( x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=2x+\cos \left( \pi -x \right)\cdot \left( -1 \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=2x-\cos \left( \pi -x \right)$

d) $\displaystyle y=\sin \left( \frac{x}{2} \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\cos u\cdot u'\left( x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\cos \frac{x}{2}\cdot \frac{1}{2}$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}$

Ushtrimi 3

Gjeni derivatin në pikën x për funksionin:

a) $\displaystyle y={{\left( {{x}^{2}}-x \right)}^{3}}$

b) $\displaystyle y=\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}$

c) $\displaystyle y={{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}$

d) $\displaystyle y=\cos 3x$

Zgjidhje

a) $\displaystyle y={{\left( {{x}^{2}}-x \right)}^{3}}$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\alpha \cdot {{u}^{\alpha -1}}\cdot {u}'\left( x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=3\cdot {{\left( {{x}^{2}}-x \right)}^{2}}\cdot \left( 2x-1 \right)$

b) $\displaystyle y=\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot {u}'\left( x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}}\cdot \left( \frac{x-1}{x-2} \right)'$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}}\cdot \frac{\left( x-2 \right)-\left( x-1 \right)}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}}\cdot \frac{1}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}$

$\displaystyle y'\left( x \right)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{x-1}{x-2}}\cdot {{\left( x-2 \right)}^{2}}}$

c) $\displaystyle y={{e}^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}$

$\displaystyle y'\left( x \right)={{e}^{u}}\cdot {u}'\left( x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)={{e}^{^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}}\cdot x$

$\displaystyle y'\left( x \right)=x{{e}^{^{\frac{{{x}^{2}}}{2}}}}$

d) $\displaystyle y=\cos 3x$

$\displaystyle y'\left( x \right)=-\operatorname{sinu}\cdot {u}'\left( x \right)$

$\displaystyle y'\left( x \right)=-\sin 3x\cdot 3$

$\displaystyle y'\left( x \right)=-3\sin 3x$