Drejtezat dhe planet | Vetite themelore te planit

Drejtezat dhe planet

Disa koncepte themelore

Gjeometria në hapësirë (stereometria) studion figurat gjeometrike, pikat e të cilave nuk ndodhen të gjitha në një plan. Për shembull, kemi trupat gjeometrikë, si kubi, kuboidi, cilindri etj.

Në gjeometrinë në hapësirë, si objekte themelore shërbejnë pika, drejtëza dhe plani.

Pikat në hapësirë do ti shënojmë me shkronjat e mëdha të alfabetit (A, B, C…), drejtezat me shkronjat e vogëla të alfabetit (a,b,c…), ndërsa planet me shkronjat e alfabetit grek ( $\displaystyle \alpha ,\beta ,...\delta ...$ ) etj.

Vetitë themelore të planit

Me plan do të kuptojmë një sipërfaqe të sheshtë të pakufizuar.

Shkruajmë plani $\displaystyle \alpha$ .

Aksioma 1: “Në qoftë se dy pika të drejtëzës d ndodhen në planin α, atëherë të gjitha pikat e saj ndodhen në këtë plan”.

Aksioma 2: “Në qoftë se dy plane kanë një pikë të përbashkët, atëherë ato priten sipas një drejtëze që kalon nga kjo pikë”.

Aksioma 3: “Nëpër tri pika që nuk ndodhen në një drejtëz kalon një dhe vetëm një plan”.

Rrjedhime nga aksiomat

Teorema 1: “Nëpër një drejtëz d dhe një pikë C jashtë saj, kalon një plan dhe vetëm një”.

Teorema 2: “Nëpër dy drejtëza $\displaystyle {{d}_{1}}$ dhe $\displaystyle {{d}_{2}}$ të cilat priten në një pikë A, kalon një plan dhe vetëm një”.

Drejtezat paralele

Përkufizim: “Drejtezat quhen paralele, në qoftë se ndodhen në një plan dhe nuk kanë asnjë pikë të përbashkët”.

Do të pranojmë pa vërtetim që ky plan është i vetëm, pra nëpër dy drejtëza paralele kalon një plan dhe vetëm një.

Ushtrimi 1

Jepet kuboidi ABCDMNPQ, në të cilin AB=BC=6 cm dhe AM = 8 cm.

a) Cila është natyra e trekëndëshit BPM?

b) Gjeni përimetrin dhe sipërfaqen e trekëndëshit BPM.

Zgjidhje

Ndërtojmë në fillim kuboidin:

a) Ne dimë që AB=BC, pram und të themi që drejtkëndëshat BCPN dhe MNPQ janë të barabartë, ndaj diagonalet e tyre MP dhe BP janë të barabarta. Nga kjo themi që trekëndëshi BPM është trekëndësh dybrinjëshëm.

b) Zbatojmë teoremën e Pitagorës per gjetjen e brinjëve të trekëndëshit BPM:

$\displaystyle {{\left[ MP \right]}^{2}}={{6}^{2}}+{{6}^{2}}$