Trajta standarte e numrit. Fuqite me eksponent te plote

trajta standarte

Trajta standarte e numrit

Themi që numri real pozitiv x ka trajtë standarte nëse ai paraqitet në trajtën $\displaystyle x=a\cdot {{10}^{n}}$ , ku $\displaystyle 1<a<10$ dhe $\displaystyle 1<a<10$

Shembull

Të paraqiten në trajtë të rregulltë numrat:

a) 452000

b) 25400

c) 20000

d) 12000

e) 310000

f) 25000

Zgjidhje

a) $\displaystyle 452000=4.52\cdot {{10}^{5}}$

b) $\displaystyle 25400=2.54\cdot {{10}^{4}}$

c) $\displaystyle 20000=2\cdot {{10}^{4}}$

d) $\displaystyle 12000=1.2\cdot {{10}^{4}}$

e) $\displaystyle 310000=3.1\cdot {{10}^{5}}$

f) $\displaystyle 25000=2.5\cdot {{10}^{4}}$

Fuqitë me eksponent te plote

Në klasën e tetë kemi mësuar këtë marrëveshje:

$\displaystyle {{a}^{0}}=1$ dhe $\displaystyle {{a}^{-n}}=\frac{1}{n}$ për $\displaystyle a\ne 0$ dhe $\displaystyle n\in N$ . Shënimet $\displaystyle {{0}^{-n}}$ dhe $\displaystyle {{0}^{0}}$ nuk kanë kuptim.

Vetitë e njohura për fuqitë me eksponent natyrorë mbeten të vërteta dhe për fuqitë me eksponent te plote. Pra, do të kemi:

$\displaystyle {{a}^{m}}\cdot {{a}^{n}}={{a}^{m+n}}$

$\displaystyle \frac{{{a}^{m}}}{{{a}^{n}}}={{a}^{m-n}}$

$\displaystyle {{\left( {{a}^{m}} \right)}^{n}}={{a}^{m\cdot n}}$

$\displaystyle {{\left( ab \right)}^{m}}={{a}^{m}}\cdot {{a}^{n}}$

$\displaystyle {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{m}}=\frac{{{a}^{m}}}{{{b}^{m}}}$

Shembull

Njehësoni shprehjen $\displaystyle {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{-2}}$

Zgjidhje

Për të gjetur vlerën e kësaj fuqie veprojmë në dy mënyra:

Mënyra e parë:

Duke zbatuar vetite e fuqive, do të kemi:

$\displaystyle {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{-2}}=\frac{{{3}^{-2}}}{{{5}^{-2}}}=\frac{\frac{1}{{{3}^{2}}}}{\frac{1}{{{5}^{2}}}}$

$\displaystyle =\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{25}}=\frac{1}{9}\cdot \frac{25}{1}=\frac{25}{9}$

Mënyra e dytë:

Për fuqitë me eksponent pozitiv, kemi:

$\displaystyle {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{-m}}={{\left( \frac{b}{a} \right)}^{m}}$

Pra, do të kemi:

$\displaystyle {{\left( \frac{3}{5} \right)}^{-2}}={{\left( \frac{5}{3} \right)}^{2}}=\frac{{{5}^{2}}}{{{3}^{2}}}=\frac{25}{9}$

Ushtrimi 1

Zgjidhni në mënyrën më të lehtë $\displaystyle {{2}^{5}}\cdot {{2}^{-3}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-3}}$

Zgjidhje

Duke zbatuar vetite e fuqive, do të kemi:

$\displaystyle {{2}^{5}}\cdot {{2}^{-3}}+{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{-3}}={{2}^{5}}\cdot \frac{1}{{{2}^{3}}}+{{2}^{3}}$

$\displaystyle =\frac{{{2}^{5}}}{{{2}^{3}}}+{{2}^{3}}={{2}^{5-3}}+{{2}^{3}}$

$\displaystyle ={{2}^{2}}+{{2}^{3}}=4+8=12$

Ushtrimi 2

Thjeshtoni shprehjet:

a) $\displaystyle {{a}^{3}}\cdot \frac{{{a}^{7}}}{{{a}^{5}}}$

b) $\displaystyle {{a}^{2}}{{a}^{4}}\cdot \frac{{{a}^{5}}}{{{a}^{-3}}}$

c) $\displaystyle {{\left( ab \right)}^{3}}\cdot \frac{{{a}^{4}}}{{{a}^{2}}}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle {{a}^{3}}\cdot \frac{{{a}^{7}}}{{{a}^{5}}}={{a}^{3}}\cdot {{a}^{7-5}}$

$\displaystyle ={{a}^{3}}\cdot {{a}^{2}}={{a}^{3+2}}={{a}^{5}}$

b) $\displaystyle {{a}^{2}}{{a}^{4}}\cdot \frac{{{a}^{5}}}{{{a}^{-3}}}={{a}^{2+4}}\cdot {{a}^{5-\left( -3 \right)}}$

$\displaystyle ={{a}^{6}}\cdot {{a}^{8}}={{a}^{6+8}}={{a}^{14}}$

c) $\displaystyle {{\left( ab \right)}^{3}}\cdot \frac{{{a}^{4}}}{{{a}^{2}}}={{a}^{3}}\cdot {{b}^{3}}\cdot {{a}^{4-2}}$

$\displaystyle ={{a}^{3}}\cdot {{b}^{3}}\cdot {{a}^{2}}$

$\displaystyle ={{a}^{3+2}}\cdot {{b}^{3}}$

$\displaystyle ={{a}^{5}}\cdot {{b}^{3}}$