Thyesat Algjebrike - Thjeshtimi i thyesave algjebrike

Çfarë janë Thyesat Algjebrike?

Thyesat algjebrike janë thyesa, numëruesi dhe emëruesi i të cilave janë shprehje algjebrike.

Ne do të shpjegojmë disa teknika për të thjeshtuar thyesat komplekse algjebrike. Ne dimë si mund të thjeshtojmë thyesat duke pjesëtuar numëruesin dhe emëruesin me një faktor të përbashkët. Kjo mund të bëhet edhe me thyesat algjebrike.

Shembulli 1

Thjeshtoni secilën nga thyesat e mëposhtme aq sa është e mundur:

a) $\displaystyle \frac{{3x}}{6}$

Pjesëtuesi më i lartë i përbashkët i 3 dhe 6 është 3.

$\displaystyle \frac{{3x}}{6}=\frac{{3x:3}}{{6:3}}=\frac{x}{2}$

b) $\displaystyle \frac{{{{y}^{2}}}}{{{{y}^{5}}}}$

Pjesëtuesi më i lartë i përbashkët i $\displaystyle {{{y}^{2}}}$ dhe $\displaystyle {{{y}^{5}}}$ është $\displaystyle {{{y}^{2}}}$ .

$\displaystyle \frac{{{{y}^{2}}}}{{{{y}^{5}}}}=\frac{{{{y}^{2}}:{{y}^{2}}}}{{{{y}^{5}}:{{y}^{2}}}}=\frac{1}{{{{y}^{3}}}}$

c) $\displaystyle \frac{{12{{p}^{3}}}}{{16{{p}^{7}}}}$

Konsideroni së pari konstantën. PMP e 12 dhe 16 është 4, kështu që mund të ndani 12 dhe 16 me 4.

$\displaystyle \frac{{12{{p}^{3}}}}{{16{{p}^{7}}}}=\frac{{12{{p}^{3}}:4}}{{16{{p}^{7}}:4}}=\frac{{3{{p}^{3}}}}{{4{{p}^{7}}}}$

Tani vini re se PMP e $\displaystyle {{{p}^{3}}}$ dhe $\displaystyle {{{p}^{7}}}$ është $\displaystyle {{{p}^{3}}}$ . Ju mund të ndani edhe numëruesin dhe emëruesin me këtë PMP.

$\displaystyle \frac{{3{{p}^{3}}}}{{4{{p}^{7}}}}=\frac{{3{{p}^{3}}:{{p}^{3}}}}{{4{{p}^{7}}:{{p}^{3}}}}=\frac{1}{{4{{p}^{4}}}}$ .

d) $\displaystyle \frac{{{{x}^{2}}-4x+3}}{{{{x}^{2}}-7x+12}}$

Vini re se mund të pjesëtoni edhe numëruesin edhe emëruesin.

$\displaystyle \frac{{{{x}^{2}}-4x+3}}{{{{x}^{2}}-7x+12}}=$ $\displaystyle \frac{{\left( {x-3} \right)\left( {x-1} \right)}}{{\left( {x-3} \right)\left( {x-1} \right)}}$

Ju mund të shihni se (x-3) është një faktor si i numëruesit ashtu edhe i emëruesit, kështu që mund ta anuloni këtë faktor të përbashkët.

$\displaystyle \frac{{\left( {x-3} \right)(x-1)}}{{\left( {x-3} \right)(x-4)}}=\frac{{(x-1)}}{{(x-4)}}$

Shumëzimi dhe pjesëtimi i thyesave algjebrike.

Merrni parasysh shumëzimin: $\displaystyle \frac{x}{{{{y}^{2}}}}\times \frac{{{{y}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}$

Ju e dini që emëruesi dhe numëruesi mund të shumëzohen në mënyrën e zakonshme:

$\displaystyle \frac{x}{{{{y}^{2}}}}\times \frac{{{{y}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}=\frac{{x{{y}^{4}}}}{{{{y}^{2}}{{x}^{3}}}}$

Tani mund të shihni se PMP i numëruesit dhe emëruesit do të jetë $\displaystyle x{{y}^{2}}$ .

Nëse ndani përmes $\displaystyle x{{y}^{2}}$ ju merrni $\displaystyle \frac{x}{{{{y}^{2}}}}\times \frac{{{{y}^{2}}}}{{{{x}^{3}}}}=\frac{{{{y}^{2}}}}{{{{x}^{2}}}}$

Shembulli 2

Thjeshtoni secilën nga rastet e mëposhtëme:

a) $\displaystyle \frac{4}{{3{{x}^{2}}}}\cdot \frac{{14{{x}^{3}}}}{{16{{y}^{2}}}}$

Thjesht mund të shumëzoni numërues dhe emërues dhe pastaj të thjeshtoni duke përdorur metodat që tashmë i njihni.

$\displaystyle \frac{{4\times 14{{x}^{3}}}}{{3{{x}^{2}}\times 16{{y}^{2}}}}=\frac{{56{{x}^{3}}}}{{48{{x}^{2}}{{y}^{2}}}}=\frac{{7x}}{{6{{y}^{2}}}}$

b) $\displaystyle \frac{{3{{{(x+y)}}^{3}}}}{{16{{z}^{2}}}}\times \frac{{12z}}{{9{{{(x+y)}}^{7}}}}$

$\displaystyle \frac{{3{{{(x+y)}}^{3}}}}{{16{{z}^{2}}}}\times \frac{{12z}}{{9{{{(x+y)}}^{7}}}}=$ $\displaystyle \frac{{36{{{(x+y)}}^{3}}z}}{{144{{{(x+y)}}^{7}}{{z}^{2}}}}$ $\displaystyle =\frac{1}{{4{{{(x+y)}}^{4}}z}}$

c) $\displaystyle \frac{{14{{x}^{4}}{{y}^{3}}}}{9}\div \frac{{7{{x}^{2}}y}}{{18}}$

$\displaystyle \frac{{14{{x}^{4}}{{y}^{3}}}}{9}\div \frac{{7{{x}^{2}}y}}{{18}}=$ $\displaystyle \frac{{14{{x}^{4}}{{y}^{3}}}}{9}\times \frac{{18}}{{7{{x}^{2}}y}}$ $\displaystyle =\frac{{252{{x}^{4}}{{y}^{3}}}}{{63{{x}^{2}}y}}=4{{x}^{2}}{{y}^{2}}$

Mbledhja dhe zbritja e thyesave algjebrike

Mund të përdorni emërues të përbashkët kur mblidhni thyesat algjebrike, ashtu si bëni me thyesat e zakonshme.

Shembulli 3

Shkruaj si thyesa të vetme në termat më të ulët, $\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}$ .

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i x dhe y është xy. Ky do të jetë emëruesi i përbashkët.

$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{y}{{xy}}+\frac{x}{{xy}}=\frac{{x+y}}{{xy}}$

Shembulli 4

Shkruaj si thyesa të vetme në termat më të ulët, $\displaystyle \frac{1}{{x+1}}+\frac{1}{{x+2}}$ .

Shumëfishi më i vogël i përbashkët i (x+1) dhe (x+2) është (x+1)(x+2).

$\displaystyle \frac{1}{{x+1}}+\frac{1}{{x+2}}=$ $\displaystyle \frac{{x+2}}{{(x+1)(x+2)}}+\frac{{x+1}}{{(x+1)(x+2)}}=$ $\displaystyle \frac{{x+2+x+1}}{{(x+1)(x+2)}}=$ $\displaystyle \frac{{2x+3}}{{(x+1)(x+2)}}$

Shembulli 5

Shkruaj si thyesa të vetme në termat më të ulët, $\displaystyle \frac{{3x+4}}{{{{x}^{2}}+x-6}}-\frac{1}{{x+3}}$ .

Së pari ju duhet të faktorizoni shprehjen kuadratike:

$\displaystyle \frac{{3x+4}}{{{{x}^{2}}+x-6}}-\frac{1}{{x+3}}=$ $\displaystyle \frac{{3x+4}}{{(x+3)(x-2)}}-\frac{1}{{x+3}}$

Të dy emëruesit kanë një faktor të përbashkët x+3, dhe shumëfishi më i ulët i përbashkët i këtyre dy emëruesve është (x+3)(x-2):

$\displaystyle \frac{{3x+4}}{{{{x}^{2}}+x-6}}-\frac{1}{{x+3}}=$ $\displaystyle \frac{{3x+4}}{{(x+3)(x-2)}}-\frac{1}{{x+3}}=$ $\displaystyle \frac{{3x+4-(x-2)}}{{(x+3)(x-2)}}=$ $\displaystyle \frac{{3x+4-x+2}}{{(x+3)(x-2)}}=$ $\displaystyle \frac{{2x+6}}{{(x+3)(x-2)}}$ .