Zgjidhja e ekuacioneve trigonometrike elementare

Zgjidhja e ekuacionit sinx = a

Për të zgjidhur ekuacionin sinx = a, kur $\displaystyle -1\le a\le 1$ , veprojmë kështu:

Gjejmë një kënd $\displaystyle \alpha$ , që e kaq sinusin a (me tabelë).
Një kënd tjetër që e ka sinusin a është $\displaystyle 180{}^\text{o}-\alpha$ .
Të gjitha zgjidhjet e ekuacionit sinx = a janë $\displaystyle x=k\cdot 360{}^\text{o}+\alpha$ ose $\displaystyle x=k\cdot 360{}^\text{o}+\left( 180{}^\text{o}-\alpha \right)$ , ku $\displaystyle k\in Z$ .

Ushtrimi 1

Zgjidhni ekuacionet:

a) $\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

Nga tabela trigonometrike, shohim që 2 kënde të x që e kanë sinusin $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$ janë 45º dhe $\displaystyle \left( 180{}^\text{o}-45{}^\text{o} \right)=135{}^\text{o}$ , ndaj shkruajmë:

$\displaystyle x=k\cdot 360{}^\text{o}+45{}^\text{o}$ ose $\displaystyle x=k\cdot 360{}^\text{o}+135{}^\text{o}$

b) $\displaystyle \sin x=\frac{1}{2}$

Nga tabela trigonometrike, shohim që 2 kënde të x që e kanë sinusin $\displaystyle \frac{1}{2}$ janë 30º dhe $\displaystyle \left( 180{}^\text{o}-30{}^\text{o} \right)=150{}^\text{o}$ , ndaj shkruajmë:

$\displaystyle x=k\cdot 360{}^\text{o}+30{}^\text{o}$ ose $\displaystyle x=k\cdot 360{}^\text{o}+150{}^\text{o}$ .

Zgjidhja e ekuacionit cox = b

Për të zgjidhur ekuacionin cosx = b, ku $\displaystyle -1\le b\le 1$ , veprojmë kështu:

Gjejmë një kënd $\displaystyle \alpha$ , që e ka kosinusin të barabartë me b (nga tabela, me makinë llogaritëse).
Një kënd tjetër që e ka kosinusin b është $\displaystyle \left( -\alpha \right)$ .
Të gjitha këndet që e kanë kosinusin b jepen nga formulat $\displaystyle x=k\cdot 360{}^\text{o}+\alpha$ ose $\displaystyle x=k\cdot 360{}^\text{o}-\alpha$ .

Ushtrimi 2

Të zgjidhet ekuacioni $\displaystyle \cos 2x=\frac{1}{2}$

Zgjidhje

Nga tabela trigonometrike (ose me makinë llogaritëse) shohim që 2kënde që e kanë kosinusin $\displaystyle \frac{1}{2}$ janë $\displaystyle 60{}^\text{o}$ dhe $\displaystyle \left( 360{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right)=300{}^\text{o}$ , ndaj shkruajmë:

$\displaystyle 2x=k\cdot 360{}^\text{o}+60{}^\text{o}$ ose $\displaystyle 2x=k\cdot 360{}^\text{o}+300{}^\text{o}$ , nga ku:

$\displaystyle x=k\cdot 180{}^\text{o}+30{}^\text{o}$ ose $\displaystyle x=k\cdot 180{}^\text{o}+150{}^\text{o}$ .

Zgjidhja e ekuacionit tgx = c

Për të zgjidhur ekuacionin tgx = c ( $\displaystyle c\in R$ ) veprojmë kështu:

Gjejmë një kënd $\displaystyle \alpha$ që e ka tangentin të barabartë me c.
Të gjitha këndet që e kanë tangentin të barabartë me janë $\displaystyle x=k\cdot 180{}^\text{o}+\alpha$