Vlera me e madhe dhe me e vogel e funksionit
Nëse funksioni f është i vazhdueshëm në segmentin , atëherë ai merr në këtë segment vlerën e vet më të madhe dhe vlerën e vet më të vogël.
Metodë:
Për të gjetur vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni f të vazhdueshëm në segmentin veprojmë kështu:
- Gjejmë të gjitha ekstremumet e funksionit për
.
- Gjejmë vlerat në skajet e segmentit
, pra gjejmë
dhe
.
- Krahasojmë të gjithë këto numra. Më i madhi prej tyre është vlera më e madhe e funksionit f në segmentin
, kurse më i vogli prej tyre është vlera më vogël e funksionit f në segmentin
.
Shembull 1
Të gjendet vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit
në
.
Zgjidhje
Gjejmë ekstremumet e funksionit duke gjetur derivatin dhe barazuar atë me zero:
.
Gjejmë ,
dhe
dhe krahasojmë vlerat:
Pra, vlera më e vogël e funksionit është , ndërsa vlera më e madhe e funksionit është
.
Teorema 2: Nëse funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin dhe ka në këtë interval vetëm një ekstremum, atëherë:
- Kur ky ekstremum është maksimum, ai është vlera më e madhe e funksionit në intervalin
;
- Kur ky ekstremum është minimu, ai është vlera më e vogël e funksionit në intervalin
;
Shembull 2
Gjeni vlerën më të vogël të funksionit në
.
Zgjidhje
Gjejmë ekstremumet e funksionit:
Barazojmë derivatin me zero:
, sepse
.
Nga studimi i shënjës arrijmë në përfundimin se është minimum i funksionit, ndaj kjo është dhe vlera më e vogël e funksionit.