Vlera me e madhe dhe me e vogel e funksionit

Vlera me e madhe dhe me e vogel e funksionit

Nëse funksioni f është i vazhdueshëm në segmentin $\displaystyle \left[ a,b \right]$ , atëherë ai merr në këtë segment vlerën e vet më të madhe dhe vlerën e vet më të vogël.

Metodë:

Për të gjetur vlerën më të madhe dhe më të vogël të një funksioni f të vazhdueshëm në segmentin $\displaystyle \left[ a,b \right]$ veprojmë kështu:

Gjejmë të gjitha ekstremumet e funksionit për $\displaystyle x\in \left[ a,b \right]$ .
Gjejmë vlerat në skajet e segmentit $\displaystyle \left[ a,b \right]$ , pra gjejmë $\displaystyle f\left( a \right)$ dhe $\displaystyle f\left( b \right)$ .
Krahasojmë të gjithë këto numra. Më i madhi prej tyre është vlera më e madhe e funksionit f në segmentin $\displaystyle \left[ a,b \right]$ , kurse më i vogli prej tyre është vlera më vogël e funksionit f në segmentin $\displaystyle \left[ a,b \right]$ .

Shembull 1

Të gjendet vlera më e madhe dhe më e vogël e funksionit $\displaystyle y=4x-2{{x}^{2}}$ në $\displaystyle \left[ 0,5 \right]$ .

Zgjidhje

Gjejmë ekstremumet e funksionit duke gjetur derivatin dhe barazuar atë me zero:

$\displaystyle y'=4-4x$

$\displaystyle 4-4x=0$ $\displaystyle 4-4x=0$

$\displaystyle x=1$ .

Gjejmë $\displaystyle f\left( 0 \right)$ , $\displaystyle f\left( 1 \right)$ dhe $\displaystyle f\left( 5 \right)$ dhe krahasojmë vlerat:

$\displaystyle f\left( 0 \right)=0-0=0$

$\displaystyle f\left( 1 \right)=4-2=2$

$\displaystyle f\left( 5 \right)=20-50=-30$

Pra, vlera më e vogël e funksionit është $\displaystyle f\left( 5 \right)$ , ndërsa vlera më e madhe e funksionit është $\displaystyle f\left( 1 \right)$ .

Teorema 2: Nëse funksioni f është i vazhdueshëm në intervalin $\displaystyle \left] a,b \right[$ dhe ka në këtë interval vetëm një ekstremum, atëherë:

Kur ky ekstremum është maksimum, ai është vlera më e madhe e funksionit në intervalin $\displaystyle \left] a,b \right[$ ;
Kur ky ekstremum është minimu, ai është vlera më e vogël e funksionit në intervalin $\displaystyle \left] a,b \right[$ ;

Shembull 2

Gjeni vlerën më të vogël të funksionit $\displaystyle y=x+\frac{1}{4x}$ në $\displaystyle \left] 0,+\infty \right[$ .

Zgjidhje

Gjejmë ekstremumet e funksionit:

$\displaystyle y'=\left( x \right)'+\left( \frac{1}{4x} \right)'$

$\displaystyle y'=1+\frac{0-4}{16{{x}^{2}}}$

$\displaystyle y'=1+\frac{-4}{16{{x}^{2}}}$

Barazojmë derivatin me zero:

$\displaystyle 1+\frac{-4}{16{{x}^{2}}}=0$

$\displaystyle \frac{-4}{16{{x}^{2}}}=-1$

$\displaystyle \frac{1}{4{{x}^{2}}}=1$

$\displaystyle 4{{x}^{2}}=1$

$\displaystyle x=\frac{1}{2}$ , sepse $\displaystyle x\in \left] 0,+\infty \right[$ .

Nga studimi i shënjës arrijmë në përfundimin se $\displaystyle x=\frac{1}{2}$ është minimum i funksionit, ndaj kjo është dhe vlera më e vogël e funksionit.