Teorema e Langranzhit, teorema Ferma dhe studimi i monotonis

Teorema e Langranzhit

Teorema e Langranzhit thotë: Nëse funksioni f është i derivueshëm në intervalin I dhe $\displaystyle {{x}_{1}}$ , $\displaystyle {{x}_{2}}$ janë dy pika çfarëdo të kërij intervali, atëherë ekziston të paktën një pikë c, ndërmjet pikave $\displaystyle {{x}_{1}}$ , $\displaystyle {{x}_{2}}$ e tillë që:

$\displaystyle f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)=f'\left( c \right)\cdot \left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)$ .

Ndryshe e shkruajmë:

$\displaystyle f'\left( c \right)=\frac{f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$ .

Shembull 1

Për funksionin $\displaystyle f:y=\frac{x+1}{x-1}$ , të gjendet pika që vërteton teoremën e langranzhit në segmentin $\displaystyle \left[ 3,5 \right]$ .

Zgjidhje

Gjejmë në fillim $\displaystyle f\left( 3 \right)$ dhe $\displaystyle f\left( 5 \right)$ :

$\displaystyle f\left( 3 \right)=\frac{3+1}{3-1}=2$

$\displaystyle f\left( 5 \right)=\frac{5+1}{5-1}=\frac{3}{2}$

Gjejmë $\displaystyle f'\left( c \right)$ :

$\displaystyle {f}'\left( x \right)=\frac{x-1-\left( x+1 \right)}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}=-\frac{2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}$

$\displaystyle {f}'\left( c \right)=-\frac{2}{{{\left( c-1 \right)}^{2}}}$

Zbatojmë teoremën e langranzhit për të gjetur pikën c:

$\displaystyle f\left( {{x}_{2}} \right)-f\left( {{x}_{1}} \right)={f}'\left( c \right)\cdot \left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)$

$\displaystyle \frac{3}{2}-2=-\frac{2}{{{\left( c-1 \right)}^{2}}}\cdot \left( 5-3 \right)$

$\displaystyle -\frac{1}{2}=-\frac{4}{{{\left( c-1 \right)}^{2}}}$

$\displaystyle {{\left( c-1 \right)}^{2}}=8$

$\displaystyle c-1=\pm \sqrt{8}$

Do të kemi:

$\displaystyle {{c}_{1}}=1+\sqrt{8}$

$\displaystyle {{c}_{2}}=1-\sqrt{8}$

Studimi i monotonisë së funksionit

Teorema 1: Nëse funksioni ka derivat pozitiv në çdo pikë të intervalit I, atëherë ky funksion është rritës në intervalin I.

Teorema 2: Nëse funksioni f ka derivat negativ në çdo pikë të intervalit I, atëherë ky funksion është zbritës në intervalin I.

Shembull 2

Studioni monotonin e funksionit $\displaystyle y={{x}^{2}}-5x$

Zgjidhje

Gjejmë në fillim derivation e funksionit y:

$\displaystyle y'=2x-5$

Gjejmë rrënjën e derivatit duke e barazuar atë me zero:

$\displaystyle 2x-5=0$

$\displaystyle x=\frac{5}{2}$ .

Studiojmë shenjën e derivatit:

Pra, siç shihet, për intervalin $\displaystyle \left] -\infty ,\frac{5}{2} \right[$ funksioni është zbritës, ndërsa për intervalin $\displaystyle \left] \frac{5}{2},+\infty \right[$ funksioni është rritës.

Teorema Ferma

Metodë

Për të studiuar monotoninë e një funksioni numerik f:

Gjendet bashkësia e percaktimit E.
Gjendet bashkësia $\displaystyle {{E}_{1}}$ ku funksioni është i derivueshëm.
Njehsohet $\displaystyle f'\left( x \right)$ dhe studiohet shenja e tij në bashkësinë $\displaystyle {{E}_{1}}$ .
Duke parë intervalet e $\displaystyle {{E}_{1}}$ ku $\displaystyle f'\left( x \right)$ ruan shenjë, nxirren përfundimet për intervalet e monotonisë së funksionit f.

Teorema Ferma: Nëse funksioni f, i derivueshëm në intervalin I, ka ekstremum në pikën $\displaystyle a\in I$ , atëherë $\displaystyle f'\left( a \right)=0$ .