Rrenja katrore | Veti te rrenjes katrore | Matematika 9

Rrenja katrore e numrit a quhet ai numër, katrori i të cilit është a.

Pra, marrim një numër r, e ngrejmë në fuqinë e dyshit dhe do na jap numrin a.

Shënojmë $\displaystyle \sqrt{a}=r$ .

Disa vërejtjë për rrenjën katrore:

$\displaystyle \sqrt{0}=0$
Rrënja katrore e numrave negative nuk ekziston

Veti të rrënjës katrore

Teoremë 1: “Nëse a dhe b janë dy numra pozitiv, ku aTeoremë 2: “Nëse a dhe b janë numra realë pozitivë ( $\displaystyle a,b\in {{R}^{+}}$ ) kemi $\displaystyle \sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ ”.

Themi ndryshe: “Rrenja e prodhimit është sa prodhimi i rrënjëve”.

Teoremë 3: “Nëse $\displaystyle a\ge b$ dhe $\displaystyle b>0$ , atëherë $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ ”.

Ndryshe themi: “Rrenja e raporteve është sa raporti i rrënjëve”.

Thjeshtimi i shprehjeve me rrënjë të ngjashme

Shembull 1

Të thjeshtohet shprehja $\displaystyle 3\sqrt{3}+4\sqrt{5}-2\sqrt{3}+5\sqrt{5}$

Zgjidhje

Në bazë të vetive të veprimeve me numra realë shkruajmë:

$\displaystyle 3\sqrt{3}+4\sqrt{5}-2\sqrt{3}+5\sqrt{5}$

$\displaystyle =\left( 3\sqrt{3}-2\sqrt{3} \right)+\left( 4\sqrt{5}+5\sqrt{5} \right)$

$\displaystyle =\sqrt{3}+9\sqrt{5}$

Veprohet njësoj si me reduktimin e monomeve të ngjashëm.

Nxjerrja e faktorëve nga rrenja

Kemi shembujt:

a) $\displaystyle \sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$

b) $\displaystyle \sqrt{48}=\sqrt{16\cdot 3}=4\sqrt{3}$

c) $\displaystyle \sqrt{\frac{18}{25}}=\frac{\sqrt{18}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{9\cdot 2}}{\sqrt{25}}=\frac{3\sqrt{2}}{5}$

d) $\displaystyle \sqrt{5{{x}^{2}}}=\sqrt{5}\cdot \sqrt{{{x}^{2}}}=x\sqrt{5}$

e) $\displaystyle \sqrt{9{{a}^{3}}}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{{{a}^{3}}}=3\cdot \sqrt{{{a}^{2}}\cdot a}$ = $\displaystyle 3a\sqrt{a}$ .

Thjeshtimi i $\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}}$

Kur a>0, shkruajmë: $\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}}=a$
Kur a=0, shkruajmë: $\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}}=0$
Kur a=0, shkruajmë: $\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}}=-a$

Shkurt shkruajmë: $\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}}=|a|$ për çdo $\displaystyle a\in R$ .

Zhdukja e rrënjëve nga emëruesi i thyesës

Rasti kur emëruesi i thyesës është një monom që përmbanë rrënjën katrore

Shembull

$\displaystyle \frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$

Në këtë rast shumëzojmë rrënjën katrore me veten e vet dhe e kthejmë atë në numër.

Rasti kur emëruesi i thyesës është shumë ose diferencë e dy kufizave, ku të paktën njëra është rrënjë katrore

Përkufizim: “Shprehjet $\displaystyle A+\sqrt{B}$ dhe $\displaystyle A-\sqrt{B}$ i quajmë të konjuguara të njëra-tjetrës”.

Shembull

$\displaystyle \frac{5}{\sqrt{2}+2}=\frac{5\left( \sqrt{2}-2 \right)}{\left( \sqrt{2}+2 \right)\cdot \left( \sqrt{2}-2 \right)}$

$\displaystyle =\frac{5\sqrt{2}-10}{2-4}=\frac{5\sqrt{2}-10}{-2}$