Shprehje me ndryshore

Shprehjet numerike

Kujtojmë ç’kemi mësuar në klasën e shtatë për radhën e veprimeve në një shprehje numerike:

Kur shprehja nuk ka kllapa dhe përmbanë vetëm mbldhje dhe zbritje ose shumëzim dhe pjestim, veprimet shkruhen sipas radhës që janë shkruar, nga e majta në të djathtë.
Kur shprehja është pa kllapa dhe përmbanë të gjitha veprimet, në fillim kryhet fuqia nëse ka, pastaj shumëzimet dhe pjestimet sipas radhës që janë shkruar dhe në fund mbledhjet dhe zbritjet sipas radhës që janë shkruar në rregullin 1.
Kur shprehja ka kllapa, këto përcaktojnë radhën në të cilën do të kryhen veprimet.

Me anë të numrave, ndryshoreve, shenjave të veprimeve dhe kllapave, mund të formohen shprehje me ndryshore.

Për shembull: $\displaystyle 3x+5$ , $\displaystyle \left( ax+b \right)$ , $\displaystyle \frac{x+1}{x+2}$ etj. Këto janë shprehje me një ndryshore.

Marrim shprehjen $\displaystyle \frac{x+1}{x+2}$ , në vend të x do të vendosim numrin 3 dhe do të kemi shprehjen numerike: $\displaystyle \frac{3+1}{3+2}$ që ka si vlerë numrin $\displaystyle \frac{4}{6}=\frac{2}{3}$ . Ky numër quhet vlerë e shprehjes $\displaystyle \frac{x+1}{x+2}$ .

Përkufizim: “Çdo shprehje me një ndryshore tregon një program veprimesh, që zbatohet për të gjitha vlerat e shprehjes.”.

Vlera e palejuar e shprehjes

Kemi shprehjen: $\displaystyle \frac{x+1}{x+2}$ , të gjejmë vlerën e shprehjes për x = -2.

Do të kemi shprehjen numerike: $\displaystyle \frac{-2+1}{-2+2}$ që do të kishte si vlerë shprehje numrin $\displaystyle \frac{1}{0}$ e cila nuk ka kuptim.

Vlera x = -2 quhet vlerë e palejuar e shprehjes $\displaystyle \frac{-2+1}{-2+2}$ .

Shprehje identike. Shndërrime identike të shprehjeve

Dy shprehje A dhe B, me të njëjtat ndryshore, quhet identike në një bashkësi E, nëse plotësohen 2 kushte:

Shprehjet nuk kanë vlerë të palejuar
Për çdo vlerë të ndryshores nga E i kanë vlerat përgjegjëse të barabarta.

Shndërrime të thjeshta identike të shprehjeve

Për të përftuar prej një shprehje me ndryshore një tjetër shprehje, identike më të, shpesh përdoren vetitë e njohura të veprimeve me numrat:

Vetia e ndërrimit e mbledhjes: a + b = b + a
Vetia e ndërrimit e shumëzimit: a ∙ b = b ∙ a
Vetia e shoqërimit e mbledhjes (a + b) + c = a + (b + c)
Vetia e shoqërimit e shumëzimit: (a ∙ b) ∙ c = a ∙ (b ∙ c)

Vetia e ndryshesës: a – b = a + (-b) , ku $\displaystyle a\in Q$ , $\displaystyle b\in Q$ , $\displaystyle c\in Q$

Vetia e përdasimit e shumëzimit në lidhje me mbledhjes (zbritjen):
$\displaystyle a\left( b+c \right)=ab+ac$
$\displaystyle a\left( b-c \right)=ab-ac$

Për të bërë shndërrime identike të shprehjeve, shpesh vetia e përdasimit përdoret në trajtën e anasjelltë:
$\displaystyle ab+ac=a\left( b+c \right)$
$\displaystyle ab-ac=a\left( b-c \right)$

Ushtrimi 1

Kryeni shndërrime identike të shprehjeve:

a) a(-3b)

b) 4(3x + 5)

c) 3x + 9

d) 4-(x + 2)

e) $\displaystyle 5{{x}^{3}}+12{{x}^{3}}$

f) $\displaystyle {{x}^{3}}\cdot {{x}^{6}}$

Zgjidhje

a) a(-3b) = -3ab

b) 4(3x + 5) = 12x + 20 (vetia e përdasimit)

c) 3x + 9 = 3(x + 3) (e anasjellta e vetisë së përdasimit)

d) 4-(x + 2) = 4 – x – 2 = 2 – x (Vetia e ndryshesës)

e) $\displaystyle 5{{x}^{3}}+12{{x}^{3}}={{x}^{3}}\left( 5+12 \right)=17{{x}^{3}}$ (e anasjellta e vetisë së përdasimit)

f) $\displaystyle {{x}^{3}}\cdot {{x}^{6}}={{x}^{3+6}}={{x}^{9}}$ (Zbatim i vetive të fuqive).