Krahasimi i funksioneve numerike. Veprime me funksionet

Krahasimi i funksioneve numerike

Përkufizim: Themi se funksioni f është më i madh se funksioni g në bashkësinë A,nëse për çdo $\displaystyle x\in A$ është i vërtetë mosbarazimi $\displaystyle f\left( x \right)>g\left( x \right).$

Në këtë rast themi gjithashtu se funksioni f është më i vogël së funksioni g në bashkësinë A.

Shënojmë $\displaystyle f>g$ ose $\displaystyle f<g$ .

Mosbarazimi $\displaystyle f\left( x \right)>g\left( x \right)$ është i jëvlershëm me $\displaystyle f\left( x \right)-g\left( x \right)>0$ .

Në rastin kur $\displaystyle f<g$ , shkruajmë $\displaystyle f\left( x \right)-g\left( x \right)<0$ . Metodë: Kur funksionet f,g janë dhënë me formula, për t’i krahasuar ato mjafton të studiojmë shenjën e diferencës.

Shembull 1

Janë dhënë funksionet $\displaystyle f:y=2x+1$ dhe $\displaystyle g:y=\left( {{x}^{2}}-2 \right)$ .

a) Të krahasohen këta funksione në R.

b) Të gjendet bashkësia më e gjerë në të cilën f

Zgjidhje

a) Kemi $\displaystyle f\left( x \right)=2x+1$ dhe $\displaystyle g\left( x \right)=\left( {{x}^{2}}-2 \right)$ .

Diferenca $\displaystyle f\left( x \right)-g\left( x \right)$ është $\displaystyle \left( 2x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}-2 \right)$ .

$\displaystyle f\left( x \right)=\left( 2x+1 \right)-\left( {{x}^{2}}-2 \right)$

$\displaystyle f\left( x \right)=2x+1-{{x}^{2}}+2$

$\displaystyle f\left( x \right)=-{{x}^{2}}+2x+3$ .

Zgjidhim ekuacionin e fuqisë së dytë me një ndryshore:

$\displaystyle -{{x}^{2}}+2x+3=0$

$\displaystyle {{x}^{2}}-2x-3=0$

$\displaystyle D=4-1\cdot \left( -3 \right)-16$

$\displaystyle D>0$ .

$\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{2-4}{2}=-1$

$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{2+4}{2}=3$ .

Studiojmë shenjën e trinomit:

Për $\displaystyle x\in \left] -1,3 \right[$ kemi $\displaystyle f\left( x \right)-g\left( x \right)>0$ , prandaj f>g.

Për $\displaystyle x\in \left] -\infty ,1 \right[$ dhe $\displaystyle x\in \left] 3,+\infty \right[$ , kemi $\displaystyle f\left( x \right)-g\left( x \right)<0$ , prandaj fb) Bashkësia më e gjerë ku f

Mbledhja e dy funksioneve numerike

Le të jenë f,g dy funksione numerike të përcaktuara përkatësisht në bashkësitë $\displaystyle {{A}_{1}}$ dhe $\displaystyle {{A}_{2}}$ .

Shënojmë me D prerjen e dy bashkësive $\displaystyle {{A}_{1}}$ dhe $\displaystyle {{A}_{2}}$ .

$\displaystyle D={{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}$ .

Për çdo vlerë të $\displaystyle x\in D$ , ekziston një vlerë e vetme f(x) e funksionit f dhe një vlerë e vetme e g(x) e funksionit g.

Duke i çiftuar vlerës së x shumën $\displaystyle f\left( x \right)+g\left( x \right)$ , marrim një funksion të ri të përcaktuar në D. Ky funksion i ri quhet shumë e funksioneve f,g dhe shënohet f+g.

Shuma f+g e funksioneve f,g është funksion i përcaktuar në D,i dhënë kështu:

$\displaystyle f+g:y=f\left( x \right)+g\left( x \right)$ ose $\displaystyle f+g:x\to f\left( x \right)+g\left( x \right)$ .

Fakti që vlera e funksionit f+g në pikën x është sa shuma e vlerave të funksioneve numerike f,g në këtë pikë, shënohet kështu:

$\displaystyle \left( f+g \right)\left( x= \right)f\left( x \right)+g\left( x \right)$ .

Shembull 1

Gjeni bashkësinë e përcaktimit dhe shumën f+g për funksionet:

a) Le të kemi funksionet f,g me bashkësi përcaktimi R.

$\displaystyle f:y=\sin x$ dhe $\displaystyle g:y=x+1$ .

b) Le të kemi funksionet:

$\displaystyle f:y=\frac{1}{x-2}$ me bashkësi përcaktimi $\displaystyle x\ne 2$

$\displaystyle g:y=\sqrt{1-x}$ me bashkësi përcaktimi $\displaystyle \left] -\infty ,1 \right]$ .

Zgjidhje

a) Bashkësia e përcaktimit të shumës f+g është përsëri bashkësia e numrave real sepse $\displaystyle R\cap R=R$ dhe shuma f+g shkruhet me formulën $\displaystyle y=\sin x+x+1$ .

b) Bashkësia e përcaktimit e shumës f+g është:

$\displaystyle D={{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}$

$\displaystyle \left( \left] -\infty ,2 \right[\cup \left] 2,+\infty \right[ \right)\cap \left] -\infty ,1 \right]=\left] -\infty ,1 \right]$ .

Veprime të tjera me funksionet

Në mënyrë të ngjashme me përkufizimin e shumës jepen përkufizimet e prodhimit të dy funksioneve numerike f,g që shënohet $\displaystyle f\cdot g$ , të herësit të funksionit f me funksionin g që shënohet $\displaystyle \frac{f}{g}$ dhe të prodhimit të numrit real c me funksionin f që shënohet $\displaystyle c\cdot f$ .

Ndërtojmë tabelën për këto raste:

Funksioni	Bashkësia e përcaktimit	Mënyra e çiftimit
$\displaystyle f\cdot g$	$\displaystyle {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}$	$\displaystyle x\to f\left( x \right)\cdot g\left( x \right)$
$\displaystyle \frac{f}{g}$	$\displaystyle {{A}_{1}}\cap {{A}_{2}}$ , ku $\displaystyle g\left( x \right)\ne 0$	$\displaystyle x\to \frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}$
$\displaystyle c\cdot f$	$\displaystyle {{A}_{1}}$	$\displaystyle x\to c\cdot f\left( x \right)$