Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Formula te thjeshtuara per zgjidhjen e ekuacionit te fuqise se dyte | Formulat e Vietes

Formula te thjeshtuara per zgjidhjen e ekuacionit te fuqise se dyte | Formulat e Vietes

fuqise se dyte

Formula te thjeshtuara per zgjidhjen e ekuacionit te fuqise se dyte

Tek ekuacioni \displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0, koeficienti mund të jetë numër çift. Për këto lloj ekuacionesh do të përdorim një formulë tjetër.

Meqënëse b është çift e shënojmë me 2k, pra \displaystyle b=2k.

Përcaktojmë dallorin:

qese plastike

\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac

\displaystyle D=4{{k}^{2}}-4ac

\displaystyle D=4\left( {{k}^{2}}-ac \right).

Zëvëndësojmë tek formula e zgjidhjes:

\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-2k\pm \sqrt{4\left( {{k}^{2}}-ac \right)}}{2a}

\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-2k\pm 2\sqrt{{{k}^{2}}-ac}}{2a}

\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{2\left( -k\pm \sqrt{{{k}^{2}}-ac} \right)}{2a}

\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-k\pm \sqrt{{{k}^{2}}-ac}}{a} nga ku \displaystyle k=\frac{b}{2}.

Nëse shënojmë \displaystyle {{D}^{'}}={{k}^{2}}-ac, formula për zgjidhjen e ekuacioneve të fuqise se dyte me një ndryshore me b çift është \displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-k\pm \sqrt{{{D}^{'}}}}{a}, ku \displaystyle k=\frac{b}{2}.

 

 

 


 

Shembull 1

Të zgjidhet me formulë të thjeshtuar ekuacioni \displaystyle 3{{x}^{2}}+4x+1=0

 

Zgjidhje

Nxjerrim koeficientët:

\displaystyle a=3

\displaystyle k=\frac{b}{2}=\frac{4}{2}=2

\displaystyle c=1

 

\displaystyle {{D}^{'}}={{k}^{2}}-ac

\displaystyle {{D}^{'}}={{2}^{2}}-3\cdot 1

\displaystyle {{D}^{'}}=1

 

Gjejmë vlerat e ndryshoreve \displaystyle {{x}_{1}} dhe \displaystyle {{x}_{2}}:

\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-k\pm \sqrt{{{D}^{'}}}}{a}

\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-2\pm \sqrt{1}}{2}

\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-2-1}{3}=\frac{-3}{3}=-1

\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-2+1}{3}=-\frac{1}{3}.

Përgjigje: Bashkësia e rrënjëve të ekuacionit \displaystyle 3{{x}^{2}}+4x+1=0 është bashkësia \displaystyle A=\left\{ -1,~~-\frac{1}{3} \right\}.

 

 

Per me shume shembuj te zgjidhur me ekuacionet e fuqise se pare me nje ndryshore shikoni Ushtrime te zgjidhura – Ekuacione

 

qese plastike

 

Formulat e Vietes

Formulat e Vietes na ndihmojnë të gjejmë shumën dhe prodhimin e rrënjëve të x-it, kur ato ekzistojnë pa i gjetur më parë rrënjët.

Formulat e Vietes janë:

\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} dhe \displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=\frac{c}{a}. 

Vërtetim

  • \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}

Duke mbledhur anë për anë do të kemi:

\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}

\displaystyle =\frac{-b-\sqrt{D}-b+\sqrt{D}}{2a}

\displaystyle =\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}

 

 

  • \displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}

\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=\left( \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \right)\cdot \left( \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \right)

Nga formula e diferencës së katrorit do të kemi:

\displaystyle \left( \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \right)\cdot \left( \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \right)=\frac{{{\left( -b \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{D} \right)}^{2}}}{4{{a}^{2}}}

\displaystyle =\frac{{{b}^{2}}-D}{4{{a}^{2}}}

Zëvëndësojmë formulën e dallorit dhe do të kemi:

\displaystyle \frac{{{b}^{2}}-D}{4{{a}^{2}}}=\frac{{{b}^{2}}-\left( {{b}^{2}}-4ac \right)}{4{{a}^{2}}}

\displaystyle =\frac{-4ac}{4{{a}^{2}}}=-\frac{c}{a}

 

Teoremë: “Nëse shënojmë me \displaystyle S={{x}_{1}}+{{x}_{2}} dhe \displaystyle P={{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}} vërtetohet se ekuacioni që ka për rrënjë numrat \displaystyle {{x}_{1}} dhe \displaystyle {{x}_{2}} ka trajtën \displaystyle {{x}^{2}}-Sx+P=0”.

 

 

 

 

Shembull 1

Pa zgjidhur ekuacionin \displaystyle {{x}^{2}}-3x+1=0 të gjendet shuma dhe prodhimi i rrënjëve.

 

Zgjidhje

Tek ekuacioni \displaystyle {{x}^{2}}-3x+1=0 kemi:

\displaystyle a=1

\displaystyle b=-3

\displaystyle c=1

 

Zbatojmë formulat e Vietës:

\displaystyle P={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}

\displaystyle P=-\frac{-3}{1}=3

 

\displaystyle S={{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=\frac{c}{a}

\displaystyle S=\frac{1}{1}=1

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Matematika 10Matematika 10
  • Matematika BazeMatematika Baze
  • Matematika 6Matematika 6
  • MatematikaMatematika
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • Matematika 8Matematika 8
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • PesekendeshatPesekendeshat
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • Matematika 11Matematika 11
  • Numrat e ThjeshteNumrat e Thjeshte
  • Matematika 9Matematika 9
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
  • Provimi i lirimitProvimi i lirimit
  • Matematika 12Matematika 12
ekuacionekuacion thyesorEkuacione ne forme prodhimiEkuacione ne forme prodhimi dhe ekuacione thyesoreekuacione thyesoreekuacionetEkuacionet ne forme prodhimiEkuacionet thyesoreekuacioniekuacioni dhe inekuacioniekuacioni i fuqise se dyteekuacioni i fuqise se pareEkuacioni i fuqisë se pare me nje ndryshoreekuacioni linearformula te thjeshtuaraFormula te thjeshtuara per zgjidhjen e ekuacionit te fuqise se dyteformulat e vietesZgjidhja grafike e ekuacionit ekuacion linearZgjidhja grafike e ekuacionit të fuqisë së parë

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika
  • Matematika 6
  • Matematika 11
  • Matematika Baze
  • Matematika 8
  • Matematika 10
  • Matematika 7
  • Matematika 9
  • Matematika 12
  • Provimi i lirimit

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al