Detyra.Al Detyra.Al

  • Kreu
  • Matematika
    • Matematika 6
    • Matematika 7
    • Matematika 8
    • Matematika 9
    • Matematika 10
    • Matematika 11
    • Matematika 12
  • Fizika
  • Matematika Baze
  • Matura dhe provimi i lirimit
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
Home / Ekuacioni i tangjentes dhe pingules se rrethit

Ekuacioni i tangjentes dhe pingules se rrethit

ekuacioni i tangjentes

Ekuacioni i tangjentes se rrethit

Kemi mësuar që ekuacioni i rrethit ka trajtën \displaystyle {{\left( x-a \right)}^{2}}+{{\left( x-b \right)}^{2}}={{r}^{2}}.

Në këtë artikull do të trajtojmë shkurtimisht ekuacionin e tangjentes së rrethit.

Ekuacioni i tangjentes së rrethit shkruhet:

qese plastike

\displaystyle x\cdot {{x}_{1}}+y\cdot {{y}_{1}}={{r}^{2}}

 

 

 

 

Shembull 1

Jepet rrethi me ekuacion \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=25 dhe pika \displaystyle M\left( 3,4 \right).

a) Të tregohet se pika M është pikë e rrethit.

b) Të shkruhet ekuacioni i tangjentes ndaj rrethit në pikën M.

 

Zgjidhje

a) Zëvëndësojmë koordinatat e pikës M në ekuacionin e rrethit. Do të kemi:

\displaystyle {{3}^{2}}+{{4}^{2}}=25

\displaystyle 9+16=25

\displaystyle 25=25, pra pika M është pikë e rrethit.

 

b) Në ekuacionin e tangjentes zëvëndësojmë \displaystyle {{x}_{1}}=3 dhe \displaystyle {{y}_{1}}=4. Do të kemi:

\displaystyle x\cdot 3+y\cdot 4=25

\displaystyle 3x+4y-25=0.

 

 

 


 

Ekuacioni i pingules në një pikë të rrethit

Pingule ndaj rrethit në pikën M të tij, quhet drejtëza, e cila është pingule me tangjentën në këtë pikë. Nga vetia e tangjentes së rrethit, del se rrezja e rrethit është drejtëza pingule me tangjenten.

Meqë ajo kalon nga origjina e koordinatave, ekuacioni i saj është \displaystyle y=kx, ku \displaystyle k=\frac{{{y}_{1}}}{{{x}_{1}}}.

Pra, ekuacioni i pingules është:

\displaystyle y=\frac{{{y}_{1}}}{{{x}_{1}}}\cdot x.

 

 

 

 

Shembull 2

Shkruani ekuacionin e tangjentes dhe të pingules së rrethit \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=5 në pikën \displaystyle M\left( 1,-2 \right) të tij.

 

Zgjidhje

Gjejmë ekuacionin e tangjentes së rrethit:

Në ekuacionin e tangjentes zëvëndësojmë \displaystyle {{x}_{1}}=1 dhe \displaystyle {{y}_{1}}=-2. Do të kemi:

\displaystyle x\cdot 1+y\cdot \left( -2 \right)=5

\displaystyle x-2y-5=0

 

Gjejmë ekuacionin e pingules:

\displaystyle y=\frac{{{y}_{1}}}{{{x}_{1}}}\cdot x

\displaystyle y=-2x

\displaystyle 2x+y=0

 

 

 

 

qese plastike

Kushti i tangjencës së rrethit së drejtëzës me rrethit

Jepet rrethi \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}} dhe drejtëza \displaystyle y=kx.

Për të gjetur pikat e përbashkëta të tyre zgjidhim sistemin e ekuacioneve:

Duke zëvëndësuar y në ekuacionin e parë, kemi:

\displaystyle {{x}^{2}}+{{\left( kx+t \right)}^{2}}={{r}^{2}}

\displaystyle {{x}^{2}}+{{k}^{2}}{{x}^{2}}+2ktx+{{t}^{2}}={{r}^{2}}

\displaystyle {{x}^{2}}\left( 1+{{k}^{2}} \right)+2ktx+\left( {{t}^{2}}-{{r}^{2}} \right)=0

Në këtë rast përftohet një ekuacion i fuqisë së dytë me ndryshore x-in.

Dallori i thjeshtuar i këtij ekuacioni është \displaystyle {{k}^{2}}{{x}^{2}}+{{r}^{2}}-{{t}^{2}}.

Dallojmë tre raste për dallorin:

  1. \displaystyle D<0. Në këtë rast ekuacioni nuk ka zgjidhje, pra drejtëza nuk e pret rrethin.
  2. \displaystyle D>0. Në këtë rast ekuacioni ka dy rrënjë, pra drejtëza e pret në dy pika rrethin.
  3. \displaystyle D=0.

\displaystyle {{k}^{2}}{{r}^{2}}+{{r}^{2}}-{{t}^{2}} .
\displaystyle {{k}^{2}}{{x}^{2}}+{{r}^{2}}={{t}^{2}} .

\displaystyle {{r}^{2}}\left( {{k}^{2}}+1 \right)={{t}^{2}}.
Në këtë rast ekuacioni ka vetëm një rrenjë, pra drejtëza e pret vetëm në një pikë rrethin, pra drejtëza është tangjente me rrethin.

 

Në këtë mënyrë kemi gjetur kushtin që drejtëza \displaystyle y=kx+t të jetë tangjente me rrethin \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{r}^{2}}, ai është:

\displaystyle {{r}^{2}}\left( {{k}^{2}}+1 \right)={{t}^{2}}.

 

 

 

 

Shembull 3

Rrethi \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}=10 është tangjent me drejtëzën \displaystyle y=kx+10. Të gjendet k.

 

Zgjidhje

Meqë rrethi është tangjent me drejtëzën, shkruajmë:

\displaystyle {{r}^{2}}\left( {{k}^{2}}+1 \right)={{t}^{2}}

\displaystyle 10\left( {{k}^{2}}+1 \right)=100

\displaystyle {{k}^{2}}+1=10

\displaystyle {{k}^{2}}=9

\displaystyle k=\pm 3.

qese plastike

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme:
  • Numrat NatyroreNumrat Natyrore
  • Numrat e ThjeshteNumrat e Thjeshte
  • Matematika 10Matematika 10
  • Integrimi me thyesa te pjeseshmeIntegrimi me thyesa te pjeseshme
  • Provimi i lirimitProvimi i lirimit
  • Matematika BazeMatematika Baze
  • Matematika 11Matematika 11
  • Derivative of sin^2(x)Derivative of sin^2(x)
  • PesekendeshatPesekendeshat
  • Thyesat AlgjebrikeThyesat Algjebrike
  • Formulat e VietesFormulat e Vietes
  • Matematika 7Matematika 7
  • Matematika 6Matematika 6
  • Matematika 8Matematika 8
  • Matematika 12Matematika 12
  • Matematika 9Matematika 9
Ekuacioni i pingulesEkuacioni i pingules me rrethinEkuacioni i pingules në një pikë të rrethitEkuacioni i pingules se rrethitekuacioni i tangjentesEkuacioni i tangjentes dhe pingules se rrethitEkuacioni i tangjentes me rrethinEkuacioni i tangjentes se rrethitKushti i tangjencës së rrethit së drejtëzës me rrethitrrethitangjente me rrethintangjentjatangjentja e rrethit

Kerko Mesime

Pages

  • Fizika
    • Fizika 7
  • Kimia
    • Kimia 8
    • Kimia 9
  • Kontakt
  • Kreu
  • Matura dhe provimi i lirimit

Sponcor Ju-Ar Plast Sh.P.K

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Postime te ngjashme:

  • Matematika 8
  • Matematika 10
  • Provimi i lirimit
  • Matematika
  • Matematika 11
  • Matematika 7
  • Matematika 6
  • Matematika 12
  • Matematika Baze
  • Matematika 9

qese plastike

Ju-Ar Plast Sh.P.K

Na kontaktoni

Detyra.al është një platformë eduktaive online e cila vjen në ndihmë të nxënësve të klasave të 6-12 me leksione, ushtrime dhe teza provimesh.

Email: info@detyra.al