Ekuacione ne forme prodhimi dhe ekuacione thyesore

Ekuacionet ne forme prodhimi

Ekuacioni me trajtë kanonike $\displaystyle f\left( x \right)\cdot g\left( x \right)=0$ quhet ekuacion në formë prodhimi.

Bashkësia e rrënjëve të këtij ekuacioni është bashkimi i bashkësive të rrënjëve të ekuacioneve $\displaystyle f\left( x \right)=0$ dhe $\displaystyle g\left( x \right)=0$ .

Keshille! Per ushtrime te zgjidhura me ekuacione klikoni ushtrime te zgjidhura

Shembull 1

Të zgjidhet ekuacioni $\displaystyle \left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)\left( x-1 \right)=0$

Zgjidhje

Zgjidhim secilin nga ekuacionet.

Zgjidhim ekuacionin e parë:

$\displaystyle 2{{x}^{2}}+x+1=0$

Gjejmë dallorin:

$\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$

$\displaystyle D={{1}^{2}}-4\cdot 2\cdot 1=-7$

$\displaystyle D<0$ , pra ekuacioni i parë nuk ka rrënjë. Zgjidhim ekuacionin e dytë: $\displaystyle x-1=0$ $\displaystyle x=1$ Pra, zgjidhje e ekuacionit $\displaystyle \left( 2{{x}^{2}}+x+1 \right)\left( x-1 \right)=0$ është bashkësia $\displaystyle A=\left\{ 1 \right\}$ .

Per me shume shembuj te zgjidhur me ekuacionet e fuqise se pare me nje ndryshore shikoni Ushtrime te zgjidhura – Ekuacione

Keshille! Per ushtrime te zgjidhura me ekuacione klikoni ushtrime te zgjidhura

Ekuacione thyesore

Nëse e panjohura është në thyesën e një ekuacioni, ky ekuacion quhet ekuacion thyesor.

Për shembull $\displaystyle \frac{3+x}{2}$ , $\displaystyle \frac{1-x}{x}$ quhen ekuacione thyesore.

Para se të zgjidhet një ekuacion thyesor duhet:

Të gjendet emëruesi i përbashkët
Të gjenden bashkësia e vlerave të lejuara të ndryshores.

Keshille! Per ushtrime te zgjidhura me ekuacione klikoni ushtrime te zgjidhura

Shembull 2

Të zgjidhet ekuacioni $\displaystyle \frac{2x-1}{x}=4$

Zgjidhje

Gjejmë në fillim emëruesin e përbashkët i cili është x-i. Ky emërues duhet të jetë i ndryshëm nga zero. Pra, $\displaystyle x\ne 0$ .

Shumëzojmë të dy anët e ekuacionit me x:

$\displaystyle x\cdot \frac{2x-1}{x}=x\cdot 4$

$\displaystyle 2x-1=4x$

Tani zgjidhim ekuacionin normalisht sipas rregullave që kemi mësuar:

$\displaystyle 2x-4x=1$

$\displaystyle -2x=1$

$\displaystyle x=-\frac{1}{2}$

Pra, bashkësia e rrënjëve të ekuacionit $\displaystyle \frac{2x-1}{x}=4$ është bashkësia $\displaystyle A=\left\{ -\frac{1}{2} \right\}$ .

Shembull 3

Të zgjidhet ekuacioni $\displaystyle \frac{x}{x+1}+\frac{2}{x-3}=\frac{1}{\left( x+1 \right)\left( x-3 \right)}$

Zgjidhje

Emëruesi i përbashkët është $\displaystyle \left( x+1 \right)\left( x-3 \right)$ i cili duhet të jetë i ndryshëm nga zero.

Që prodhimi të jetë i ndryshëm nga zero, duhet që secili nga faktorët të jetë i ndryshëm nga zero.

Pra, $\displaystyle x+1\ne 0$ dhe $\displaystyle x-3\ne 0$ . Përfundimisht, kushtët që duhet të plotësojë janë $\displaystyle x\ne -1$ dhe $\displaystyle x\ne 3$ .