Perkembimet. Numri i perkembimeve

numri i perkembimeve

Prodhimi i “n” numrave të parë natyrorë quhet n faktorial dhe shënohet n!

Për shembull:

$\displaystyle 5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120$

$\displaystyle 4!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4=24$

$\displaystyle 3!=1\cdot 2\cdot 3=6$ etj.

Sipas përkufizimit të mësipërm shkruajmë: $\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3.....\left( n-1 \right)\cdot n$ .

Ushtrimi 1

Të gjëndet 8! dhe 10!

Zgjidhje

Nga përkufizimi shkruajmë $\displaystyle 8!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8$

$\displaystyle 8!=40320$

$\displaystyle 10!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10$

Meqë shumëzimin e 8 numrave të parë e bëmë më lart, shkruajmë:

$\displaystyle 10!=40320\cdot 9\cdot 10$

$\displaystyle 10!=3628800$ .

Në përgjithësi shkruajmë $\displaystyle n!=\left( n-1 \right)!\cdot n$

Me marrëveshje shkruajmë $\displaystyle 0!=1$ dhe $\displaystyle 1!=1$ .

Perkembimet

Përkufizim: “Çdo radhitje të elementeve të kësaj bashkësie e quajmë përkëmbim të saj”.

Numrin e perkembimeve të bashkësisë me n elemente e shënojmë $\displaystyle {{P}_{n}}$ .

Shembull 1

Jepet bashkësia $\displaystyle \left\{ a,b,c \right\}$ .

Gjeni perkëmbimet dhe numrin e perkembimeve.

Zgjidhje

Bëjmë të gjitha radhitjet e mundshme të elementëve të saj:

$\displaystyle \left\{ a,b,c \right\}$ , $\displaystyle \left\{ a,c,b \right\}$ , $\displaystyle \left\{ b,a,c \right\}$ , $\displaystyle \left\{ b,c,a \right\}$ , $\displaystyle \left\{ c,a,b \right\}$ , $\displaystyle \left\{ c,b,a \right\}$ .

Gjithsej 6 radhitje të ndryshme. Numri i perkembimeve të bashkësisë me tri elemente është $\displaystyle {{P}_{3}}=6$ .

Shembull 2

Jepet bashkësia $\displaystyle \left\{ a,b,c,d \right\}$ .

Gjeni numrin e perkembimeve të kësaj bashkësie.

Zgjidhje

Për të gjetur numrin e perkembimeve të kësaj bashkësie veprojmë kështu:

Si shkronjë të parë mund të vendoset secila nga shkronjat a,b,c,d. Gjithsej janë 4 mundësi. Atëherë në kutinë e parë vendosim numrin 4 dhe kemi situatën:

4

Pasi në kutinë e parë u vendos njëra nga shkronjat, për kutinë e dytë ka tri mundësi zgjedhjeje. Atëherë në kutinë e dytë vendosim numrin 3 dhe do të kemi:

4

3

Për kutinë e tretë kanë ngelur vetëm 2 mundësi, ndaj do të kemi:

4

3

2

Në kutinë e katërt na ngelet vetëm një mundësi. Do të kemi:

4

3

2

1

Bazuar në parimin e shumëzimit kemi: $\displaystyle {{P}_{4}}=4\cdot 3\cdot 2\cdot 1=24$ .

Në mënyrë të ngjashmë veprojmë dhe për bashkësitë me më shumë element.

Në përgjithësi numri i perkembimeve të elementeve të bashkësisë me n elemente është $\displaystyle {{P}_{n}}=n!$ .