Ekuacioni i drejtezes | Ekuacioni i permesores se segmentit

Ekuacioni i drejtezes

Ekuacioni më i thjeshtë i drejtëzës është $\displaystyle y=kx+t$ , ku k është koeficienti këndor i drejtëzës.

Koeficienti këndor i drejtëzës që kalon nëpër dy pika $\displaystyle {{M}_{1}}\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$ dhe $\displaystyle {{M}_{2}}\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$ gjëndet:

$\displaystyle tg\alpha =k=\frac{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}$ .

Ekuacioni i drejtezes që kalon nëpër dy pika

Ekuacioni i drejtezes që kalon nëpër dy pika $\displaystyle A\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}} \right)$ dhe $\displaystyle B\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} \right)$ të dhëna gjendet me formulën:

$\displaystyle \frac{x-{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=\frac{y-{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}$ .

Ushtrimi 1

Gjeni ekuacioni e drejtëzës që kalon nëpër pikat $\displaystyle A\left( 2,3 \right)$ dhe $\displaystyle B\left( 6,7 \right)$

Zgjidhje

Zbatojmë formulën për gjetjen e ekuacionit të drejtëzës që kalon nëpër dy pika:

$\displaystyle \frac{x-{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=\frac{y-{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}$

$\displaystyle \frac{x-2}{6-2}=\frac{y-3}{7-3}$

$\displaystyle \left( x-2 \right)\cdot 4=4\cdot \left( y-3 \right)$

$\displaystyle x-2=y-3$

$\displaystyle y=x-2+3$

$\displaystyle y=x+1$

Ekuacioni i përmesores së segmentit

Kemi të dhënë 2 kulmet e segmentit $\displaystyle \left[ AB \right]$ .

$\displaystyle A\left( -1,4 \right)$ dhe $\displaystyle B\left( 3,2 \right)$ .

Në fillim gjejmë koordinatat e pikës M. Pika M e ndan segmentin $\displaystyle \left[ AB \right]$ në dy pjesë të barabarta.

$\displaystyle {{X}_{M}}=\frac{{{X}_{A}}+{{X}_{B}}}{2}$

$\displaystyle {{Y}_{M}}=\frac{{{Y}_{A}}+{{Y}_{B}}}{2}$ .

Në këtë rast do të kemi:

$\displaystyle {{X}_{M}}=\frac{-1+3}{2}=1$

$\displaystyle {{Y}_{M}}=\frac{4+2}{2}=3$ .

Gjejmë ekuacionin e segmentit $\displaystyle \left[ AB \right]$ . Do të kemi:

$\displaystyle \frac{x-{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}-{{x}_{1}}}=\frac{y-{{y}_{1}}}{{{y}_{2}}-{{y}_{1}}}$

$\displaystyle \frac{x+1}{3+1}=\frac{y-4}{2-4}$

$\displaystyle -2\left( x+1 \right)=4\left( y-4 \right)$

$\displaystyle x+2y-7=0$ .

Koeficienti para x shënohet me a, ndërsa koeficienti para y shënohet me b.

Pra, në këtë rast $\displaystyle a=1$ dhe $\displaystyle b=2$ .

Ekuacioni i përmesores së segmentit gjendet:

$\displaystyle \frac{X-{{X}_{M}}}{a}=\frac{Y-{{Y}_{M}}}{b}$ .

Në rastin e ushtrimit tonë do të kemi:

$\displaystyle \frac{x-1}{1}=\frac{y-3}{2}$

$\displaystyle 2x-2=y-3$

$\displaystyle 2x-y+1=0$ , ky është ekuacioni i përmesores së segmentit [AB].

Drejtëzat paralele dhe pingule me një drejtëz të dhënë

Ekuacioni i drejtezes me koeficient këndor k dhe që kalon nëpër pikën $\displaystyle \left( a,b \right)$ , shkruhet në trajtën:

$\displaystyle \frac{y-b}{x-a}=k$ , ose $\displaystyle y=k\left( x-a \right)+b$ .

Kur drejtëzat janë paralele me ekuacionin $\displaystyle y=kx+t$ , koeficienti këndor k mbetet i njëjtë, ai që ndryshon është vetëm faktori i lirë t.

Nëse drejtëza L ka koeficient këndor k, atëherë çdo drejtëz pingule me L ka koeficient këndor $\displaystyle \frac{1}{k}$ .

Ushtrimi 2

Shkruani ekuacionin e drejtëzës që është paralele me $\displaystyle y=x+3$ dhe që kalon në pikën $\displaystyle \left( 2,4 \right)$ .

Zgjidhje

Meqë drejtëza është paralele me $\displaystyle y=x+3$ , atëherë koeficienti këndor është i barabartë me koefientin këndor të kësaj drejtëze, pra me 1.

Shkruajmë ekuacionin e drejtëzës me koeficient këndor të dhënë dhe që kalon nëpër pikën $\displaystyle \left( 2,4 \right)$ :

$\displaystyle y=k\left( x-a \right)+b$

$\displaystyle y=1\left( x-2 \right)+4$