Formula te thjeshtuara per ekuacionin e fuqise se dyte

Formula te thjeshtuara per zgjidhjen e ekuacionit te fuqise se dyte

Tek ekuacioni $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c=0$ , koeficienti mund të jetë numër çift. Për këto lloj ekuacionesh do të përdorim një formulë tjetër.

Meqënëse b është çift e shënojmë me 2k, pra $\displaystyle b=2k$ .

Përcaktojmë dallorin:

$\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$

$\displaystyle D=4{{k}^{2}}-4ac$

$\displaystyle D=4\left( {{k}^{2}}-ac \right)$ .

Zëvëndësojmë tek formula e zgjidhjes:

$\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-2k\pm \sqrt{4\left( {{k}^{2}}-ac \right)}}{2a}$

$\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-2k\pm 2\sqrt{{{k}^{2}}-ac}}{2a}$

$\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{2\left( -k\pm \sqrt{{{k}^{2}}-ac} \right)}{2a}$

$\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-k\pm \sqrt{{{k}^{2}}-ac}}{a}$ nga ku $\displaystyle k=\frac{b}{2}$ .

Nëse shënojmë $\displaystyle {{D}^{'}}={{k}^{2}}-ac$ , formula për zgjidhjen e ekuacioneve të fuqise se dyte me një ndryshore me b çift është $\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-k\pm \sqrt{{{D}^{'}}}}{a}$ , ku $\displaystyle k=\frac{b}{2}$ .

Shembull 1

Të zgjidhet me formulë të thjeshtuar ekuacioni $\displaystyle 3{{x}^{2}}+4x+1=0$

Zgjidhje

Nxjerrim koeficientët:

$\displaystyle a=3$

$\displaystyle k=\frac{b}{2}=\frac{4}{2}=2$

$\displaystyle c=1$

$\displaystyle {{D}^{'}}={{k}^{2}}-ac$

$\displaystyle {{D}^{'}}={{2}^{2}}-3\cdot 1$

$\displaystyle {{D}^{'}}=1$

Gjejmë vlerat e ndryshoreve $\displaystyle {{x}_{1}}$ dhe $\displaystyle {{x}_{2}}$ :

$\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-k\pm \sqrt{{{D}^{'}}}}{a}$

$\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-2\pm \sqrt{1}}{2}$

$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-2-1}{3}=\frac{-3}{3}=-1$

$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-2+1}{3}=-\frac{1}{3}$ .

Përgjigje: Bashkësia e rrënjëve të ekuacionit $\displaystyle 3{{x}^{2}}+4x+1=0$ është bashkësia $\displaystyle A=\left\{ -1,~~-\frac{1}{3} \right\}$ .

Per me shume shembuj te zgjidhur me ekuacionet e fuqise se pare me nje ndryshore shikoni Ushtrime te zgjidhura – Ekuacione

Formulat e Vietes

Formulat e Vietes na ndihmojnë të gjejmë shumën dhe prodhimin e rrënjëve të x-it, kur ato ekzistojnë pa i gjetur më parë rrënjët.

Formulat e Vietes janë:

$\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a}$ dhe $\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=\frac{c}{a}$ .

Vërtetim

$\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}$

Duke mbledhur anë për anë do të kemi:

$\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$

$\displaystyle =\frac{-b-\sqrt{D}-b+\sqrt{D}}{2a}$

$\displaystyle =\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}$

$\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}$

$\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=\left( \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \right)\cdot \left( \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \right)$

Nga formula e diferencës së katrorit do të kemi:

$\displaystyle \left( \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \right)\cdot \left( \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \right)=\frac{{{\left( -b \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{D} \right)}^{2}}}{4{{a}^{2}}}$

$\displaystyle =\frac{{{b}^{2}}-D}{4{{a}^{2}}}$

Zëvëndësojmë formulën e dallorit dhe do të kemi:

$\displaystyle \frac{{{b}^{2}}-D}{4{{a}^{2}}}=\frac{{{b}^{2}}-\left( {{b}^{2}}-4ac \right)}{4{{a}^{2}}}$

$\displaystyle =\frac{-4ac}{4{{a}^{2}}}=-\frac{c}{a}$

Teoremë: “Nëse shënojmë me $\displaystyle S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ dhe $\displaystyle P={{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}$ vërtetohet se ekuacioni që ka për rrënjë numrat $\displaystyle {{x}_{1}}$ dhe $\displaystyle {{x}_{2}}$ ka trajtën $\displaystyle {{x}^{2}}-Sx+P=0$ ”.