Mosbarazime numerike

Dy numra realë ose dy shprehje numerike, të lidhura ndërmjet tyre me shenjën > (më e madhe) ose me shënjën < (më e vogël) formojnë një mosbarazim numerik.

Përkufizimi 1: “Do të themi që numri a është më i madh se numri b nëse ndryshesa a-b është pozitive”. Në këtë rast shënojmë a>b.

Pra, sipas përkufizimit, nga a>b rrjedh a-b>0

Përkufizimi 2: “Do të themi që numri a është më I vogël se numri b nëse ndryshesa a-b është negative”. Në këtë rast shënojmë a

Shembull

Krahasoni ndërmjet tyre numrat realë a dhe b, nëse ndryshesa e tyre (a-b) është:

a) 3

b) -1

c) $\displaystyle \frac{1}{2}$

d) 0

Zgjidhje

a) Nga përkufizimi, nëse a>b, atëherë a-b>0. Numri 3 është me i madh se zero, ndaj shkruajmë:

$\displaystyle 3>0\Rightarrow a>b$

b) $\displaystyle -1<0\Rightarrow a<b$ c) $\displaystyle \frac{1}{2}>0\Rightarrow a>b$

d) $\displaystyle 0=0\Rightarrow a=b$

Veti të mosbarazimeve numerike

1. Për çdo dy numra realë a, b nga a>b rrjedh b<a

2. Mosbarazimi gëzon vetinë e kalimit. Pra, për çdo tre numra realë a, b, c nga a>b dhe b>c, rrjedh a>c.

3. Teoremë: “Nëse është i vërtetë mosbarazimi a>b, atëherë është i vërtetë edhe mosbarazimi a+c>b+c”. Pra, nga a>b rrjedh a+c>b+c.
Rrjedhim: “Nëse në një mosbarazim të vërtetë kalojmë njërën kufizë nga njëra anë në tjetrën, duke i ndërruar shenjën, atëherë marrim një mosbarazim të ri të vërtetë me të njëjtin kah”.
Pra $\displaystyle a+b>c\Rightarrow a>c-b$ .

4. Teoremë: “Nëse të dyja anët e një mosbarazimi të vërtetë shumëzohen me të njëjtin numër real pozitiv, atëherë merret mosbarazim i vërtetë me po atë kah.
Nëse shumëzohen me të njëjtin numër real negative, atëherë merret mosbarazimi i vërtetë me kah të kundërt”.

5. Teoremë: “Nëse mbledhim anë për anë dy mosbarazime të vërteta me të njëjtin kah, atëherë marrim një mosbarazim të vërtetë me po atë kah”.

6. Teoremë: “Nëse shumëzojmë anë për anë dy mosbarazime të vërteta me të njëjtin kah e anë positive, atëherë marrim një mosbarazim të vërtetë me të njëjtin kah”.

Rrjedhim: “Nëse të dyja anët e një mosbarazimi të vërtetë janë numra realë pozitivë, atëherë katrorët e tyre formojnë një mosbarazim të vërtetë me të njëjtin kah”.