Ekuacioni i fuqisë së dytë me një ndryshore

ekuacioni i fuqise se dyte

Nga klasa e shtatë kemi mësuar ekuacionin e fuqise së parë me një ndryshore.

Përkufizim: “Ekuacioni i fuqise së dytë me një ndryshore, quhet çdo ekuacion që pas shndërrimesh të njëvlershme sillet në trajtën $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c$ , ku x është ndryshorja dhe a, b, c janë numra ( $\displaystyle a\ne 0$ )”.

Për shembull: $\displaystyle -2{{x}^{2}}+5x+4$ është ekuacion i fuqise së dytë me një ndryshore me a = -2, b = 5 dhe c = 4.

Formula e rrënjëve të ekuacionit

Përkufizim: “Shprehja numerike $\displaystyle {{b}^{2}}-4ac$ quhet dallor i ekuacionit të fuqise së dytë $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c$ . Dallori i ekuacionit shënohet zakonisht me shkronjën D”.

Pra, $\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$ .

Numri i rrënjëve të ekuacionit $\displaystyle a{{x}^{2}}+bx+c$ varet nga shenja e dallorit të tij.

Nëse $\displaystyle D>0$ , atëherë ekuacioni ka dy rrënjë të ndryshme që jepen nga formula $\displaystyle _{1}{{x}_{2}}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

Nëse $\displaystyle D=0$ , atëherë ekuacioni ka një rrënjë, që jepet nga formula $\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-b}{2a}$

Nëse $\displaystyle D<0$ , atëherë ekuacioni nuk ka rrënjë.

Ushtrimi 1

Të zgjidhen ekuacionet:

a) $\displaystyle 2{{x}^{2}}-3x+5=0$

b) $\displaystyle 2{{x}^{2}}-3x+1=0$

c) $\displaystyle 2{{x}^{2}}-4x+2=0$

Zgjidhje

a) $\displaystyle 2{{x}^{2}}-3x+5=0$

Gjejmë dallorin:

$\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$

$\displaystyle D={{3}^{2}}-4\cdot 2\cdot 5$

$\displaystyle D=9-30$

$\displaystyle D=-21$

D < 0, pra ekuacioni nuk ka zgjidhje

b) $\displaystyle 2{{x}^{2}}-3x+1=0$

Gjejmë dallorin:

$\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$

$\displaystyle D={{3}^{2}}-4\cdot 2\cdot 1$

$\displaystyle D=9-8$

$\displaystyle D=1$

D > 1, pra ekuacioni ka dy zgjidhje.

Gjejmë zgjidhjet e ekuacionit:

$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}$

$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{-\left( -3 \right)-\sqrt{1}}{2\cdot 2}$

$\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{3-1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}$

$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{-\left( -3 \right)+\sqrt{1}}{2\cdot 2}$

$\displaystyle {{x}_{2}}=\frac{3+1}{2\cdot 2}=1$

c) $\displaystyle 2{{x}^{2}}-4x+2=0$

Gjejmë dallorin:

$\displaystyle D={{b}^{2}}-4ac$

$\displaystyle D={{4}^{2}}-4\cdot 2\cdot 2$

$\displaystyle D=16-16$

$\displaystyle D=0$

Pra, D = 0 dhe ekuacioni ka vetëm një zgjidhje.

$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$

$\displaystyle x=\frac{-\left( -4 \right)}{2\cdot 2}$

$\displaystyle x=1$