Rrethi. Siperfaqja, perimetri dhe tangjentja e rrethit | Matematika

Rrethi

Përkufizim: “Rrethi është figura gjeometrike e përbërë nga të gjitha pikat e planit, që kanë të njëjtën largesë (të dhënë) nga një pikë fikse (e dhënë)”.

Rrethi

Pika fikse e dhënë quhet qëndër e rrethit.

Segmenti që bashkon qëndrën e rrethit me ndonjë pikë të rrethit quhet rreze e rrethit.

Segmenti OM është rreze e rrethit.

Nga përkufizimi rrjedh që të gjitha rrezet e rrethit kanë të njëjtën gjatësi.

Segmenti që bashkon dy pika të rrethit quhet kordë e tij.

Korda që kalon nëpër qëndër quhet diametër.

[AB] është diametër i rrethit, ndërsa [CD] është një kordë e rrethit.

Është e qart që qëndra e rrethit është mes i çdo diametric të tij. Gjatëesia e diametrit është sa dyfishi i gjatësisë së rrezes.

Teoremë: “Drejtëza që kalon nga rrezja e rrethit dhe është pingule me një kordë të tij, është përmesore e kësaj korde”.

Sipërfaqja dhe perimetri i rrethit

Sipërfaqja e rrethit me rreze R është $\displaystyle S=\pi {{R}^{2}}$ .

Perimetri i rrethit me rreze R është $\displaystyle P=2\pi R$ .

Shembull 1

Gjeni sipërfaqen dhe perimetrin e rrethit me rreze $\displaystyle R=3$ cm.

Zgjidhje

Duke zbatuar formulën e sipërfaqes së rrethit, kemi:

$\displaystyle S=\pi {{R}^{2}}$

$\displaystyle S=\pi {{3}^{2}}=9\pi ~c{{m}^{2}}$ .

Gjejmë perimetrin e rrethit, duke zbatuar formulën:

$\displaystyle P=2\pi R$

$\displaystyle P=2\pi \cdot 3=6\pi ~cm$ .

Përgjigje: Sipërfaja e rrethit me rreze 3 cm është $\displaystyle S=9\pi ~c{{m}^{2}}$ , ndërsa perimetri është $\displaystyle P=6\pi ~cm$ .

Shembull 2

Gjeni diametrin e rrethit me sipërfaqe $\displaystyle 36\pi ~c{{m}^{2}}$ .

Zgjidhje

Nga formula e sipërfaqes së rrethit, gjejmë fillimisht rrezen e tij:

$\displaystyle S=\pi {{R}^{2}}$

$\displaystyle R=\sqrt{\frac{S}{\pi }}$

$\displaystyle R=\sqrt{\frac{36\pi }{\pi }}=\sqrt{36}=6~cm$ .

Diametri i rrethit është dy herë më i madh se rrezja e tij. Shkruajmë:

$\displaystyle d=2R=2\cdot 6=12~cm$

Përgjigje: Diametri i rrethit me sipërfaqe $\displaystyle 36~c{{m}^{2}}$ është $\displaystyle 12~cm$

Tangjentja ndaj rrethit. Veti të saj

Përkufizim: “Drejtëza e hequr nëpër një pikë të rrethit, pingule me rrezen që kalon nëpër këtë pikë, quhet tangjente”.

Drejtëza a është tangjetja, ndërsa pika A quhet pikë e tangjentes.

Teoremë 1: “Tangjetja me rrethin nuk ka me të pika të tjera të përbashkëta, veç pikës së tangjentes”.

Teoremë 2: “Segmentet e tangjenteve ndaj rrethit, të hequra nga një pikë jashtë tij janë kongruente dhe formojnë kënde të barabartë me drejtëzen që kalon nëpër këtë pikë dhe qëndrën e rrethit”.

Pra, nga teorema kemi:

$\displaystyle AB=AC$
$\displaystyle \angle ABO=\angle ACO$

Vërtetim. Heqim drejtëzën AO.

Marrim në shqyrtim trekëndëshat AOB dhe AOC.

Kemi:

Trekëndëshat AOB dhe AOC janë trekëndësha kënddrejt
AO brinjë e përbashkët
OB = OC si rreze të rrethit

Nga teorema 4 e kongruencës së trekëndëshave kënddrejt, e cila thotë: “Nëse hipotenuza dhe njëri katet i një trekëndëshi kënddrejt, janë përkatësisht kongruentë me hipotenuzën dhe njërin katet të një tjetër trekëndëshi kënddrejt, atëherë këta trekëndësha janë kongruentë”, kemi që $\displaystyle \vartriangle AOB\equiv \vartriangle AOC$ .

Nga vetitë e kongruencës së trekëndëshave, do te kemi: $\displaystyle [AB]=[AC]$ dhe $\displaystyle B\hat{A}O=C\hat{A}O$ .