Teza e Matematikes. Matura 2018 (pyetjet me zhvillim)

Këtu do të zgjidhim ushtrimet me zhvillim nga teza e matures 2018.

Teza e matematikës u zhvillua në 13 qershor 2018 dhe informacionet janë marrë nga ministria e arsimit.

Ushtrimi 14

Gjeni bashkesine e përcaktimit për funksionin: \displaystyle x=\frac{{{\log }_{2}}\left( x+1 \right)}{3-x}

 

Zgjidhje

\displaystyle {{K}_{1}}:x+1>0\Rightarrow x>-1

\displaystyle {{E}_{1}}=\left] -1,+\infty  \right[

\displaystyle {{K}_{2}}:3-x\ne 0\Rightarrow x\ne 3

\displaystyle {{E}_{2}}=R-\left\{ 3 \right\}

\displaystyle E={{E}_{1}}\cap {{E}_{2}}

\displaystyle E=\left] -1,3 \right[\cup \left] 3,+\infty  \right[

 

 

 

Ushtrimi 15

Gjeni vlerën e parametrit A, që funksioni i mëposhtëm të jetë i vazhdueshëm në pikën \displaystyle x=0.

 

 

Zgjidhje

Që funksioni të jetë i vazhdueshëm në x=0, duhet të plotësohen njëherazi 3 kushte:

  1. \displaystyle f\left( 0 \right)=A+2

 

  1. \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin 3x}{x}=\frac{0}{0}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim 3}}\,\cdot \frac{\sin 3x}{3x}=3

 

  1. Funksioni është i vazhdueshëm në pikën \displaystyle x=0, pra \displaystyle \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( 0 \right)=3

\displaystyle A+2=3

\displaystyle A=1

 

Përgjigje:  Parametria A duhet të jetë 1, në mënyrë që funksioni të jetë i vazhdueshëm në pikën \displaystyle x=0.

 

 

 

Ushtrimi 16

Për ç’vlerë të parametrit a, tangetja ndaj grafikut të funksionit \displaystyle y=\frac{x-a}{2x} në pikën me abshisë \displaystyle x=1, formon me boshtin ox këndin 45 gradë.

 

Zgjidhje

Kemi:

\displaystyle y'=\frac{\left( x-a \right)'\cdot 2x-\left( x-a \right)\cdot \left( 2x \right)'}{4{{x}^{2}}}

\displaystyle y'=\frac{2x-\left( 2x-2a \right)}{4{{x}^{2}}}=\frac{2a}{4{{x}^{2}}}=\frac{a}{2{{x}^{2}}}

\displaystyle \frac{a}{{{x}^{2}}}=1

\displaystyle a=2

 

Përgjigje:  Parametria a duhet të jetë 2.

 

 


 

Ushtrimi 17

Hidhen njeheresh 3 monedha. Sa eshte probabiliteti i ngjarjes qe ne dy dhe vetem dy prej tyre, te bjere stema?

 

Zgjidhje

Gjejmë hapësirën e rezultateve:

\displaystyle n\left( H \right)=2\cdot 2\cdot 2=8

Gjejmë numrin e mundësive që të bjerë 2 herë stema:

\displaystyle A=\left\{ STS,SST,TSS \right\}

\displaystyle n\left( A \right)=3

Gjejmë probabilitetin:

\displaystyle P\left( A \right)=\frac{n\left( A \right)}{n\left( H \right)}=\frac{3}{8}

 

 

 

Ushtrimi 18

Jepet funksioni \displaystyle y=1-{{x}^{2}} në R.

a) Gjeni pikat ku grafiku pret boshtin OX.

b) Skiconi grafikun dhe gjeni syprinen e figures qe kufizohet nga grafiku I funksionit te dhene, dhe nga drejteza \displaystyle y=-3

 

Zgjidhje

a) Për të gjetur pikat ku grafiku pret boshtin Ox, zgjidhim sistemin:

Pikat ku grafiku pret boshtin OX janë \displaystyle \left( -1,0 \right) dhe \displaystyle \left( 1,0 \right).

b) Skicojmë grafikët e funksioneve mbi të njëjtin system koordinativ:

\displaystyle y=1-{{x}^{2}} është parabolë me kulm K(0;1).

y = -3 drejtëz paralele me (OX).

Gjejmë kufijtë e integrimit:

Meqenëse dy funksionet janë funksione çift atëherë:

\displaystyle S=2\int\limits_{0}^{2}{\left[ 1-{{x}^{2}}-\left( -3 \right) \right]}dx=2\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4-{{x}^{2}} \right]}dx

\displaystyle =2\left( 4x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right)|_{0}^{2}

\displaystyle =2\left( 8-\frac{8}{3} \right)-0=\frac{32}{3} njësi katrore.

 

 

 

Ushtrimi 19

Të zgjidhet ekuacioni \displaystyle \left( 3x-6 \right)\sqrt{{{x}^{2}}-9}=0

 

Zgjidhje

Në fillim gjejmë bashkësinë e përcaktimit të funksionit:

\displaystyle {{x}^{2}}-9\ge 0

\displaystyle {{x}^{2}}-9=0

\displaystyle {{x}^{2}}=\pm 3

Nga studimi i shenjës, arrijmë në përfundimin që bashkësia e përcaktimit të funksionit është \displaystyle x\in \left] -\infty ,-3 \right]\cup \left[ 3,+\infty  \right[.

 

Tani zgjidhim ekuacionin duke barazuar secilën shprehje me zero:

Ekuacioni i parë:

\displaystyle 3x-6=0

\displaystyle x=2, kjo nuk është zgjidhje për ekuacionin tonë, sepse nuk është pjesë e bashkësisë së përcaktimit.

 

Ekuacioni i dytë:

\displaystyle {{x}^{2}}-9=0

\displaystyle {{x}^{2}}=9

\displaystyle x=\pm 3. Të dyja vlerat janë pjesë e bashkësisë së përcaktimit, ndaj zgjidhje të ekuacionit jane vlerat \displaystyle x=-3 dhe \displaystyle x=3.

 

 

 

Ushtrimi 20

Jepet funksioni \displaystyle y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+5, \displaystyle x\in R.

Studioni monotoninë e funksionit dhe gjeni ekstremumet.

 

Zgjidhje

Për të studiuar monotoninë e funksionit, studiojmë shenjën e derivatit

të pare.

Për çdo \displaystyle x\in R, kemi \displaystyle y'=3{{x}^{2}}-6x

\displaystyle f'\left( x \right)=0\Rightarrow 3{{x}^{2}}-6x=0

\displaystyle 3x\left( x-2 \right)=0

\displaystyle 3x=0 ose \displaystyle x-2=0. Pra, \displaystyle x=0 ose \displaystyle x=2.

Studiojmë shenjën:

Pra, për \displaystyle x\in \left] -\infty ,0 \right[\cup \left] 2,+\infty  \right[ kemi funksion rritës.

Për \displaystyle x\in \left] 0,2 \right[ kemi funksion zbritës.

\displaystyle {{y}_{\max }}=f\left( 0 \right)=5

\displaystyle {{y}_{\min }}=f\left( 2 \right)=1.

Pra, pika maksimale është pika \displaystyle \left( 0,5 \right), ndërsa pika minimale është pika \displaystyle \left( 2,1 \right).

 

 

 

Ushtrimi 21

Jepen pikat A(1;2) dhe B(3;4) dhe C(a;0).

Për ç’vlerë të a-së, pika C gjendet në drejtëzën që kalon nga pikat A dhe B?

 

Zgjidhje

Gjejmë në fillim ekuacionin e drejtëzës AB:

\displaystyle AB:\frac{x-{{x}_{A}}}{{{x}_{B}}-{{x}_{A}}}=\frac{y-{{y}_{A}}}{{{y}_{B}}-{{y}_{A}}}

\displaystyle AB:\frac{x-1}{3-1}=\frac{y-2}{4-2}

\displaystyle \left( AB \right):x-1=y-2

\displaystyle AB:x-1=y-2

\displaystyle AB:x-y+1=0

Meqënëse pika C ndodhet në ekuacionin AB, atëherë pika e saj e vërteton ekuacionin. Pra, do të kemi:

\displaystyle a-0+1=0

\displaystyle a+1=0

\displaystyle a=-1.

 

 

 

Ushtrimi 22

Jepet elipsi i cili pret boshtin OX ne piken (2;0).

a) Gjeni vlerën e a-së

b) Gjeni ekuacionin e tangentes ndaj elipsit, e cila është pingule me drejtezën \displaystyle y=-x-1

 

Zgjidhje

a) Në skajin e boshtit të madh: \displaystyle \left( a,0 \right)=\left( 2,0 \right). Pra, \displaystyle a=2.

 

b) \displaystyle \left( {{t}_{g}} \right)\bot \left( d \right)\Rightarrow {{k}_{tg}}\cdot {{k}_{d}}=-1

Kemi \displaystyle {{k}_{d}}=-1\Rightarrow {{k}_{tg}}=1.

Ekuacioni i tangents ka trajtën \displaystyle y=x+t.

Nga kushti i tangjencës së drejtëzës me elipsin kemi: \displaystyle {{a}^{2}}{{k}^{2}}+{{b}^{2}}={{t}^{2}}.

Ekuacionet e tangjenteve janë: \displaystyle y=x-\sqrt{13} dhe \displaystyle y=x+\sqrt{13}.

 

 

 

 

Ushtrimi 23

Rezultatet vjetore të nxënësve të një klase në matematikë, paraqiten në tabelën e mëposhtme.

Nota45678910
Numri i nxënësve4655442

 

Ç’përqindje e nxenesve kanë notë mesatare më të lartë se nota mesatare e klasës?

 

Zgjidhje

Gjejmë në fillim mesataren e klasës:

Notë më të lart se mesatarja kanë 15 nxënës, të cilët përbëjnë 50% të klasës.

 

 

 

 

 

Ushtrimi 24

Ne piramidën trekëndore, të gjitha faqet anësore formojnë kënde të barabarta me planin e bazës.

Tregoni, duke argumentuar, se ku ndodhet projeksioni i kulmit të piramidës, në planin e bazës.

 

Zgjidhje

Ndërtojmë lartësinë \displaystyle \left[ S{{H}_{1}} \right] të faqes SBC. Kemi:

U krijua këndi i prerjes së drejtë \displaystyle \left( S{{{\hat{H}}}_{1}}O \right).

Në të njëjtën mënyrë në dyfaqëshat e tjerë krijohen prerjet \displaystyle \left( S{{{\hat{H}}}_{2}}O \right) dhe \displaystyle \left( S{{{\hat{H}}}_{3}}O \right).

Nga kongruenca e trekëndëshave \displaystyle SO{{H}_{1}} ; \displaystyle SO{{H}_{2}}; \displaystyle SO{{H}_{3}} \displaystyle \Rightarrow \left[ O{{H}_{1}} \right]=\left[ O{{H}_{2}} \right]=\left[ O{{H}_{3}} \right] dhe \displaystyle \left[ O{{H}_{1}} \right]\bot \left[ BC \right] ; \displaystyle \left[ O{{H}_{2}} \right]\bot \left[ AB \right] dhe \displaystyle \left[ O{{H}_{3}} \right]\bot \left[ AC \right].

Kjo sjell që O është qëndra e rrethit brendashkruar bazës.

 

 

 

 

Ushtrimi 25

Jepet \displaystyle f\left( x \right)={{2}^{x}} \displaystyle g\left( x \right)={{x}^{3}}.

Gjeni bashkësinë e zgjidhjeve të \displaystyle f\left[ g\left( x \right) \right]=g\left[ f\left( x \right) \right]

 

Zgjidhje

Gjejmë në fillim \displaystyle f\left[ g\left( x \right) \right]:

\displaystyle f\left[ g\left( x \right) \right]={{2}^{{{x}^{3}}}} , \displaystyle x\in R

Gjejmë \displaystyle g\left[ f\left( x \right) \right]:

\displaystyle g\left[ f\left( x \right) \right]={{\left( {{2}^{x}} \right)}^{3}}={{2}^{3x}}, \displaystyle x\in R

Formohet ekuacioni \displaystyle {{2}^{{{x}^{3}}}}={{2}^{3x}}\Rightarrow {{x}^{3}}=3x.

\displaystyle {{x}^{3}}-3x=0

\displaystyle x\left( {{x}^{2}}-3 \right)=0

\displaystyle x=0 ose \displaystyle x=\pm \sqrt{3}.

Pra, bashkësi e zgjidhjes janë vlerat \displaystyle \left\{ -\sqrt{3},0,\sqrt{3} \right\}

Copyright © detyra.al