Bashkohu me grupin e matematikes ne FACEBOOK! Join Us

Inekuacione me nje ndryshore

Inekuacione të njëvlershëm

Përkufizim:Zgjidhje të inekuacionit me një ndryshore quhet çdo vlerë e  ndryshores, që e kthen inekuacionin në mosbarazim numeric të vërtetë me të njëjtin kah”.

 

Shembull 1

Kontrolloni, nëse janë zgjidhje për inekuacionin \displaystyle {{x}^{2}}+2<x+9 vlerat e x-it:

a) 4

b) 2

Zgjidhje

Zëvëndësojmë numrat tek inekuacioni ynë:

a) \displaystyle {{4}^{2}}+2<4+9 \displaystyle ==16+2<13 \displaystyle 18<13 Numri 4 nuk është zgjidhje e inekuacionit \displaystyle {{x}^{2}}+2<x+9.   b) \displaystyle {{2}^{2}}+2<2+9 \displaystyle 4+2<11 \displaystyle 6<11 Mosbarazimi është i vërtetë, ndaj numri është zgjidhje e inekuacionit \displaystyle {{x}^{2}}+2<x+9.  

Përkufizim: “Dy inekuacione me të njëjtën ndryshore quhen të njëvlershëm në bashkësinë E, në qoftë se ato kanë të njëjtën bashkësi zgjidhjesh në E”.

Sipas këtij përkufizimi, rrjedh: “Kur dy inekuacione janë të njëvlershëm në E, çdo zgjidhje e inekuacionit të parë është zgjidhje edhe për inekuacionin e dytë dhe anasjelltas”.

 

 

Shembull 1

A janë të njëvlershëm në Q inekuacionet:

a) \displaystyle 2x>0 dhe \displaystyle 5x>0

b) \displaystyle -2x<-1 dhe \displaystyle x>\frac{1}{2}

 

Zgjidhje

 

a) \displaystyle 2x>0 dhe \displaystyle 5x>0

Zgjidhim të dy inekuacionet:

  • \displaystyle 2x>0

\displaystyle x>\frac{0}{2}

\displaystyle x>0

 

  • \displaystyle 5x>0

\displaystyle x>\frac{0}{5}

\displaystyle x>0

Shohim që këto dy inekuacione kanë të njëjtat zgjidhje, pra x>0, ndaj këta dy inekuacionë janë të njëvlershëm.

 

b) \displaystyle -2x<-1 dhe \displaystyle x>\frac{1}{2}

Zgjidhim inekuacionin e parë dhe krahasojmë zgjidhjet.

\displaystyle x>\frac{-1}{-2} (Zbatim i teoremës 4, do e shikojmë më poshtë).

\displaystyle x>\frac{1}{2}.

 

Shohim që këto dy inekuacione kanë të njëjtat zgjidhje, ndaj këta inekuacione quhen të njëvlershëm.

 

 

Teoremë 1: “Në qoftë se në njërën anë të inekuacionit \displaystyle f\left( x \right)>g\left( x \right) kryejmë  shndërrrime identike në bashkësinë Q, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të në Q”.

 

Teoremë 2: “Në qoftë se kalojmë kufizën nga njëra anë e inekuacionit në anën tjetër, duke ndërruar shenjën e saj, marrim inekuacion të njëvlershëm me të parin”.

 

Teoremë 3: “Në qoftë se të dyja anët e një inekuacioni i shumëzojmë me të njëjtin numër pozitiv, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të parin në Q”.

 

Teoremë 4: “Në qoftë se të dyja anët e një inekuacioni i shumëzojmë me të njëjtin numër negative dhe ndryshojmë kahun, atehërë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të parin në Q”.

 

 

 

Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore

Çdo inekuacion me një ndryshore, që sillet me shndërrime të njëvlershme në njërën nga trajtat \displaystyle ax+b>0, \displaystyle ax+b\ge 0, \displaystyle ax+b<0 ose \displaystyle ax+b\le 0, ku a, b janë numra realë të dhënë dhe \displaystyle a\ne 0, quhet inekuacion i fuqisë së parë me një ndryshore.

 

 

 

Shembull 1

Të zgjidhet inekuacioni \displaystyle 3\left( x+5 \right)>2x-1

 

Zgjidhje

 

Për të zgjidhur inekuacionin, veprojmë njësoj si në rastin e ekuacionit:

\displaystyle 3\left( x+5 \right)>2x-1

\displaystyle 3x+15>2x-1 (Zbatim i vetisë së përdasisë).

\displaystyle 3x-2x>-1-15 (Zbatim i teoremës 2)

\displaystyle x>-14, kjo quhet zgjidhje e inekuacionit.

Copyright © detyra.al