Fuqite dhe rrenja katrore | Matematika 10

Rrenja katrore

Përkufizim: “Rrënjë katrore e një numri realë $\displaystyle a\ge 0$ quhet numri realë h i tillë që $\displaystyle {{h}^{2}}=a$ ”.

Simbolikisht shënohet $\displaystyle \sqrt{a}=h\Leftrightarrow {{h}^{2}}=a$ .

Nga përkufizimi rrjedh se $\displaystyle {{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}=a$ .

Vetitë e rrënjës katrore

Gjithmonë kemi parasysh se numri nën rrënjën katrore është më i madh ose i barabartë me 0, pra $\displaystyle a\ge 0$ , $\displaystyle b\ge 0$ .

$\displaystyle \sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}\Leftrightarrow \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{ab}$
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\Leftrightarrow \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$

Një veti tjetër shumë e rëndësishme është:

$\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}}=|a|$ ose $\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}}=$

$\displaystyle a~~n\ddot{e}se~~a>0$
$\displaystyle 0~~n\ddot{e}se~~a=0$
$\displaystyle -a~~n\ddot{e}se~~a<0$ .

Jo gjithmonë $\displaystyle \sqrt{{{a}^{2}}}={{\left( \sqrt{a} \right)}^{2}}$ . Ky barazim është i vërtetë vetëm për $\displaystyle a\ge 0$ .

Mbledhja e rrenjeve te ngjashme

Përkufizim: “Dy rrënjë quhen të ngjashme nëse kanë të njëjtin tregues dhe shprehje nën shenjën e rrënjës”.

Për shembull, rrënjët $\displaystyle \sqrt{3},~~5\sqrt{3},~~\frac{1}{2}$ janë rrënjë të ngjashme.

Për të mbledhur rrenjët e ngjashme mblidhen koeficientët dhe shumën e shumëzojmë me rrënjën.

Shembull 1

Kryeni veprimet: $\displaystyle 2\sqrt{5}+3\sqrt{3}-4\sqrt{5}+2\sqrt{3}$

Zgjidhje

$\displaystyle 2\sqrt{5}+3\sqrt{3}-4\sqrt{5}+2\sqrt{3}$

$\displaystyle =\left( 2\sqrt{5}-4\sqrt{5} \right)+\left( 3\sqrt{3}+2\sqrt{3} \right)$

$\displaystyle =-2\sqrt{5}+5\sqrt{3}$ .

Zhdukja e rrënjës nga emëruesi

A dhe B janë dy shprehje jonegative (A,B > 0).

Përkufizim: “Dy shprehje quhen të konjuguara të njëra-tjetrës, nëse prodhimi i tyre është një shprehje racionale”.

E konjuguara e $\displaystyle \sqrt{A}$ është $\displaystyle \sqrt{A}$ , sepse $\displaystyle \sqrt{A}\cdot \sqrt{A}=A$
E konjuguara e $\displaystyle \sqrt{A}-\sqrt{B}$ është $\displaystyle \sqrt{A}+\sqrt{B}$ , sepse $\displaystyle \left( \sqrt{A}-\sqrt{B} \right)\cdot \left( \sqrt{A}+\sqrt{B} \right)=A-B$ .

Shembull 1

Të zhduket rrënja nga emëruesi:

a) $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{4}}$

b) $\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}$

c) $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$

d) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}+2}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{4}}=\frac{3\cdot \sqrt{4}}{\sqrt{4}\cdot \sqrt{4}}=\frac{3\sqrt{4}}{4}$

b) $\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}}=\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{2}{3}$

c) $\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}=\frac{3\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)}{\left( \sqrt{2}-\sqrt{3} \right)\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)}$

$\displaystyle =\frac{3\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)}{2+3}=\frac{3\left( \sqrt{2}+\sqrt{3} \right)}{5}$

d) $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{7}+2}=\frac{1\left( \sqrt{7}-2 \right)}{\left( \sqrt{7}+2 \right)\left( \sqrt{7}-2 \right)}$

$\displaystyle =\frac{\left( \sqrt{7}-2 \right)}{7-4}=\frac{\left( \sqrt{7}-2 \right)}{3}$