
Drejtëzat paralele
Përkufizim: “Dy drejtëza të planit quhen paralele, nëse ato nuk kanë asnjë pikë të përbashkët”.
Kemi në figurë dy drejtëza paralele:
Këndet që formohen nga prerja e dy drejtëzave më një të tretë
Le të kemi në plan dy drejtëza çfarëdo a dhe b dhe një drejtëz c, që pret këto dy drejtëza, po në pika të ndryshme. Drëjtëza c quhet prerëse. Nga prerja e drejtëzave a, b me prerësen c formohen 8 kënde, të cilët i kemi shënuar me numra.
Nga klasa e shtatë, dimë që kur një drejtëz e tretë pret dy drejtëza, formohen këto kënde:
- Kënde përgjegjës (
me
,
me
,
me
,
me
)
- Kënde ndërrues të brendshëm (
me
,
me
)
- Kënde ndërrues të jashtëm (
me
,
me
)
- Kënde të njëanshëm të brendshëm (
me
,
me
)
Kushte të mjaftueshme për paralelizmin e drejtëzave
Teoremë 1: “Nëse nga prerja e dy drejtëzave me një prerëse formohen dy kënde ndërrues të brendshëm kongruentë, atëherë drejtëzat janë paralele”.
Teoremë 2: “Nëse nga prerja e dy drejtëzave me një prerëse formohen dy kënde përgjegjës kongruentë, atëherë këto drejtëza janë paralele”.
Shembull 1
Kemi dy drejtëza që priten nga një e trëtë dhe formohen 8 kënde, si në figurën më poshtë:
Kemi dhe
.
Vërtetoni që .
Zgjidhje
Nga ushtrimi kemi:
është i kundërt në kulm me
, ndaj
.
, ndaj do të kemi:
Pra, kemi: dhe
të cilët janë kënde ndërrues të brendshëm dhe nga teorema, meqë janë kende ndërrues të brendshëm kongruentë, atëherë drejtëzat a dhe b janë paralele.
Veti të drejtëzave paralele
Aksioma e paraleleve: “Nëpër një pikë që nuk shtrihet në një drejtëz, nuk mund të hiqet më tepër se një drejtëz paralele me drejtëzn e dhënë”.
Teoremat mbi këndet që formojnë dy drejtëza paralele me një prerëse
Teoremë 3 (e anasjellta e teoremës 1): “Nëse dy drejtëza paralele priten nga një prerëse, çdo çift këndesh ndërrues të brendshëm janë kongruentë”.
Kemi figurën:
Nëse , atëherë do të kemi:
dhe
Teoremë 4 (e anasjellta e teoremës 2): “Nëse dy drejtëza paralele janë prerë nga një prerëse, çdo dy kënde përgjegjës janë kongruentë”.
Kemi figurën:
Nëse , atëherë do të kemi:
,
,
dhe