Kombinacionet

Kombinacionet

Përkufizim: “Kombinacion me k elemente të bashkësisë A quhet çdo nënbashkësi e A-së, e cila ka k elemente”.

Numri i kombinacioneve të bashkësisë A shënohet \displaystyle {{C}_{n,k}}.

loading...

 

 

Shembull 1

Jepet bashkësia \displaystyle A=\left\{ a,b,c,d \right\}.

Vëmë re se nënbashkësi të bashkësisë A, që kanë tri elemente janë gjithsej 4.

\displaystyle \left\{ a,b,c \right\}, \displaystyle \left\{ a,b,d \right\}, \displaystyle \left\{ a,c,d \right\}, \displaystyle \left\{ b,c,d \right\}.

Në këtë mënyrë kemi \displaystyle {{C}_{4,3}}=4.

Në kombinacion, rënditja e elementëve nuk është thelbësore. Pra, \displaystyle \left\{ a,b \right\} dhe \displaystyle \left\{ b,a \right\} si dispozicione janë të ndryshme, ndërsa si kombinacione janë të njëjta.

 

 

 

 


 

Shembull 2

Jepet bashkësia \displaystyle A=\left\{ a,b,c,d \right\}.

a) Të gjenden të gjitha nënbashkësitë e saj që kanë tri elemente.

b) Të gjenden të gjitha dispozicionet e bashkësisë A që kanë tri elemente.

 

Zgjidhje

Vëmë re se nënbashkësi të bashkësisë A, që kanë tri elemente janë gjithsej 4.

\displaystyle \left\{ a,b,c \right\}, \displaystyle \left\{ a,b,d \right\}, \displaystyle \left\{ a,c,d \right\}, \displaystyle \left\{ b,c,d \right\}.

KombinacioneDispozicione
abcabc; acb; bac; bca; cab; cba;

 

Vëmë re se për kombinacionin \displaystyle \left\{ a,b,c \right\} formohen \displaystyle 3!=6 dispozicione të ndryshme.

Në mënyrë të ngjashme edhe për secilin për kombinacionet e tjera të bashkësisë A mund të formohen po \displaystyle 3!=6 dispozicione të ndryshme.

Duke shënuar me \displaystyle {{C}_{4,3}}  numrin e kombinacioneve dhe me \displaystyle {{D}_{4,3}} numrin e dispozicioneve përftojmë formulën \displaystyle {{C}_{4,3}}\cdot 3!={{D}_{4,3}}, nga ku \displaystyle {{C}_{4,3}}=\frac{{{D}_{4,3}}}{3!}.

Në rastin e përgjithshëm mund të vërtetohet që \displaystyle {{C}_{n,k}}=\frac{{{D}_{n,k}}}{k!}.

Pranojmë pa vërtetim \displaystyle {{C}_{n,0}}={{C}_{n,n}}=1.

 

Ne dimë që \displaystyle {{D}_{n,k}}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}.

E zëvëndësojmë këtë tek formula e kombinatorikës dhe do të kemi:

\displaystyle {{C}_{n,k}}=\frac{n!}{k!\cdot \left( n-k \right)!}

 

 

Ushtrimi 1

Të llogariten:

a) \displaystyle {{C}_{5,3}}

b) \displaystyle {{C}_{7,2}}

c) \displaystyle {{C}_{6,3}}

d) \displaystyle {{C}_{8,4}}

 

Zgjidhje

a) \displaystyle {{C}_{5,3}}=\frac{{{D}_{5,3}}}{3!}

\displaystyle {{C}_{5,3}}=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{60}{6}=10

 

b) \displaystyle {{C}_{7,2}}=\frac{{{D}_{7,2}}}{2!}

\displaystyle {{C}_{7,2}}=\frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}=\frac{42}{2}=21

 

c) \displaystyle {{C}_{6,3}}=\frac{{{D}_{6,3}}}{3!}

\displaystyle {{C}_{6,3}}=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{120}{6}=20

 

d) \displaystyle {{C}_{8,4}}=\frac{{{D}_{8,4}}}{4!}

\displaystyle {{C}_{8,4}}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{1680}{24}=70

Copyright © detyra.al