Kombinacionet . Kombinatorika | Matematike

Kombinacionet

Përkufizim: “Kombinacion me k elemente të bashkësisë A quhet çdo nënbashkësi e A-së, e cila ka k elemente”.

Numri i kombinacioneve të bashkësisë A shënohet $\displaystyle {{C}_{n,k}}$ .

Shembull 1

Jepet bashkësia $\displaystyle A=\left\{ a,b,c,d \right\}$ .

Vëmë re se nënbashkësi të bashkësisë A, që kanë tri elemente janë gjithsej 4.

$\displaystyle \left\{ a,b,c \right\}$ , $\displaystyle \left\{ a,b,d \right\}$ , $\displaystyle \left\{ a,c,d \right\}$ , $\displaystyle \left\{ b,c,d \right\}$ .

Në këtë mënyrë kemi $\displaystyle {{C}_{4,3}}=4$ .

Në kombinacion, rënditja e elementëve nuk është thelbësore. Pra, $\displaystyle \left\{ a,b \right\}$ dhe $\displaystyle \left\{ b,a \right\}$ si dispozicione janë të ndryshme, ndërsa si kombinacione janë të njëjta.

Shembull 2

Jepet bashkësia $\displaystyle A=\left\{ a,b,c,d \right\}$ .

a) Të gjenden të gjitha nënbashkësitë e saj që kanë tri elemente.

b) Të gjenden të gjitha dispozicionet e bashkësisë A që kanë tri elemente.

Zgjidhje

Vëmë re se nënbashkësi të bashkësisë A, që kanë tri elemente janë gjithsej 4.

$\displaystyle \left\{ a,b,c \right\}$ , $\displaystyle \left\{ a,b,d \right\}$ , $\displaystyle \left\{ a,c,d \right\}$ , $\displaystyle \left\{ b,c,d \right\}$ .

Kombinacione	Dispozicione
abc	abc; acb; bac; bca; cab; cba;

Vëmë re se për kombinacionin $\displaystyle \left\{ a,b,c \right\}$ formohen $\displaystyle 3!=6$ dispozicione të ndryshme.

Në mënyrë të ngjashme edhe për secilin për kombinacionet e tjera të bashkësisë A mund të formohen po $\displaystyle 3!=6$ dispozicione të ndryshme.

Duke shënuar me $\displaystyle {{C}_{4,3}}$ numrin e kombinacioneve dhe me $\displaystyle {{D}_{4,3}}$ numrin e dispozicioneve përftojmë formulën $\displaystyle {{C}_{4,3}}\cdot 3!={{D}_{4,3}}$ , nga ku $\displaystyle {{C}_{4,3}}=\frac{{{D}_{4,3}}}{3!}$ .

Në rastin e përgjithshëm mund të vërtetohet që $\displaystyle {{C}_{n,k}}=\frac{{{D}_{n,k}}}{k!}$ .

Pranojmë pa vërtetim $\displaystyle {{C}_{n,0}}={{C}_{n,n}}=1$ .

Ne dimë që $\displaystyle {{D}_{n,k}}=\frac{n!}{\left( n-k \right)!}$ .

E zëvëndësojmë këtë tek formula e kombinatorikës dhe do të kemi:

$\displaystyle {{C}_{n,k}}=\frac{n!}{k!\cdot \left( n-k \right)!}$

Ushtrimi 1

Të llogariten:

a) $\displaystyle {{C}_{5,3}}$

b) $\displaystyle {{C}_{7,2}}$

c) $\displaystyle {{C}_{6,3}}$

d) $\displaystyle {{C}_{8,4}}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle {{C}_{5,3}}=\frac{{{D}_{5,3}}}{3!}$

$\displaystyle {{C}_{5,3}}=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{60}{6}=10$

b) $\displaystyle {{C}_{7,2}}=\frac{{{D}_{7,2}}}{2!}$

$\displaystyle {{C}_{7,2}}=\frac{7\cdot 6}{2\cdot 1}=\frac{42}{2}=21$

c) $\displaystyle {{C}_{6,3}}=\frac{{{D}_{6,3}}}{3!}$

$\displaystyle {{C}_{6,3}}=\frac{6\cdot 5\cdot 4}{3\cdot 2\cdot 1}=\frac{120}{6}=20$

d) $\displaystyle {{C}_{8,4}}=\frac{{{D}_{8,4}}}{4!}$

$\displaystyle {{C}_{8,4}}=\frac{8\cdot 7\cdot 6\cdot 5}{4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=\frac{1680}{24}=70$

Shembull 1

Në kombinacion, rënditja e elementëve nuk është thelbësore. Pra, dhe si dispozicione janë të ndryshme, ndërsa si kombinacione janë të njëjta.

Shembull 2

Zgjidhje

Në mënyrë të ngjashme edhe për secilin për kombinacionet e tjera të bashkësisë A mund të formohen po dispozicione të ndryshme.

Zgjidhje

Në kombinacion, rënditja e elementëve nuk është thelbësore. Pra, $\displaystyle \left\{ a,b \right\}$ dhe $\displaystyle \left\{ b,a \right\}$ si dispozicione janë të ndryshme, ndërsa si kombinacione janë të njëjta.

Në mënyrë të ngjashme edhe për secilin për kombinacionet e tjera të bashkësisë A mund të formohen po $\displaystyle 3!=6$ dispozicione të ndryshme.