Bashkohu me grupin e matematikes ne FACEBOOK! Join Us

Formulat e Vietes

Formulat e Vietes na ndihmojnë të gjejmë shumën dhe prodhimin e rrënjëve të ekuacionit te fuqise se dyte, kur ato ekzistojnë pa i gjetur më parë rrënjët.

Formulat e Vietes janë:

\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=-\frac{b}{a} dhe \displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=\frac{c}{a}.

 

Vërtetim

  • \displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}

Duke mbledhur anë për anë do të kemi:

\displaystyle {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}+\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}

\displaystyle =\frac{-b-\sqrt{D}-b+\sqrt{D}}{2a}

\displaystyle =\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}

 

 

 

  • \displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}

\displaystyle {{x}_{1}}\cdot {{x}_{2}}=\left( \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \right)\cdot \left( \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \right)

Nga formula e diferencës së katrorit do të kemi:

\displaystyle \left( \frac{-b-\sqrt{D}}{2a} \right)\cdot \left( \frac{-b+\sqrt{D}}{2a} \right)=\frac{{{\left( -b \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{D} \right)}^{2}}}{4{{a}^{2}}}

\displaystyle =\frac{{{b}^{2}}-D}{4{{a}^{2}}}

Zëvëndësojmë formulën e dallorit dhe do të kemi:

\displaystyle \frac{{{b}^{2}}-D}{4{{a}^{2}}}=\frac{{{b}^{2}}-\left( {{b}^{2}}-4ac \right)}{4{{a}^{2}}}

\displaystyle =\frac{-4ac}{4{{a}^{2}}}=-\frac{c}{a}

 

Teoremë: “Nëse numrat m, n kanë shumën p dhe prodhimin q, atëherë këta numra janë rrënjë të ekuacionit \displaystyle {{x}^{2}}-px+q=0”.

Copyright © detyra.al