Shumezimi i vektorit me nje numer | Raporti i vektoreve

Prodhim të vektorit $\displaystyle \vec{a}$ ( $\displaystyle \vec{a}\ne \vec{0}$ ) me numrin real k ( $\displaystyle k\ne 0$ ) quhet vektori $\displaystyle \vec{b}$ që plotëson këto kushte:

$\displaystyle \vec{b}$ ka të njëjtin drejtim me $\displaystyle \vec{a}$
$\displaystyle \vec{b}$ ka të njëjtin kah me $\displaystyle \vec{b}$ kur k>0 dhe $\displaystyle \vec{b}$ ka kah të kundërt me $\displaystyle \vec{a}$ kur k<0.
Gjatësia e $\displaystyle \vec{b}$ është $\displaystyle |k|$ herë më e madhe së gjatësia e $\displaystyle \vec{a}$ , pra $\displaystyle |\vec{b}|=|k|\cdot |\vec{a}|$ .

Prodhimi i vektorit $\displaystyle {\vec{a}}$ me numrin k shënohet $\displaystyle k\cdot \vec{a}$ , ose $\displaystyle \vec{b}=k\cdot \vec{a}$ .

Veti të shumëzimit të vektorit me një numër

$\displaystyle 1\cdot \vec{a}=\vec{a}$
$\displaystyle \left( -1 \right)\cdot \vec{a}=-\vec{a}$ (ku $\displaystyle -\vec{a}$ është i kundërti i vektorit $\displaystyle \vec{a}$ ).
Këto dy veti rrjedhin nga përkufizimi i prodhimit të vektorit me një numër.

$\displaystyle k\left( l\cdot \vec{a} \right)=\left( kl \right)\cdot \vec{a}$ (vetia e shoqërimit)
$\displaystyle \left( k+l \right)\cdot \vec{a}=k\cdot \vec{a}+l\cdot \vec{a}$ (vetia e përdasisë)
$\displaystyle k\left( \vec{a}+\vec{b} \right)=k\cdot \vec{a}+k\cdot \vec{b}$ (vetia e dytë e përdasimit)

Raporti i dy vektorëve bashkëvizorë

Përkufizim: “Nëse dihet që $\displaystyle \vec{a},~~\vec{b}$ janë bashkëvizorë, ne mund të gjejmë një numër k, të tillë që të ketë vend barazimi $\displaystyle \vec{b}=k\cdot \vec{a}$ . Si numër i tillë mund të merret raporti i gjatësive $\displaystyle \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$ (kur $\displaystyle \vec{a},~~\vec{b}$ kanë kahe të njejtë), ose i kundërti i tij $\displaystyle -\frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$ (kur $\displaystyle \vec{a},~~\vec{b}$ kanë kahe të kundërt)”.

Ky numër quhet raport i vektorit $\displaystyle \vec{b}$ me vektorin $\displaystyle \vec{a}$ dhe shënohet $\displaystyle k=\frac{{\vec{b}}}{{\vec{a}}}$ .

Në mënyrë të përmbledhur, numri k gëzon këto veti:

E ka shenjën (+), kur vektorët $\displaystyle {\vec{a}}$ dhe $\displaystyle {\vec{a}}$ kanë kahe të njejta.

E ka shenjën (–), kur vektorët $\displaystyle {\vec{a}}$ dhe $\displaystyle {\vec{a}}$ kanë kahe të kundërta.

E ka vlerën absolute sa $\displaystyle \frac{|\vec{b}|}{|\vec{a}|}$

Ushtrimi 1

Dihet që $\displaystyle \vec{a}=5~cm$ . Gjeni gjatësitë e vektorëve:

a) $\displaystyle 2\vec{a}$

b) $\displaystyle -3\vec{a}$

c) $\displaystyle 3\vec{a}+5\vec{a}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle 2\vec{a}=2\cdot |\vec{a}|=2\cdot 5=10~cm$

b) $\displaystyle -3\vec{a}=|-3|\cdot |\vec{a}|=3\cdot 5=15~cm$

c) Në fillim kryejmë mbledhjen:

$\displaystyle 3a+5\vec{a}=8\vec{\vec{a}}$

Tani gjejmë gjatësinë e vektorit:

$\displaystyle 8\vec{a}=8\cdot |\vec{a}|=8\cdot 5=40~cm$

Ushtrimi 2

Në trapezin ABCD, baza e madhe është 16 cm dhe baza e vogel është 4 cm. Shprehni vektorin $\displaystyle \vec{C}D$ nëpërmjet vektorit $\displaystyle \vec{A}B$ .

Zgjidhje

Vektorët $\displaystyle \vec{A}B$ , $\displaystyle \vec{C}D$ janë bashkëvizorë sepse kanë drejtim të njëjtë. Prandaj ekziston numri k i tillë që $\displaystyle k=\frac{\vec{C}D}{\vec{A}B}$ .

Numri k:

Ka shenjë positive, pra k>0, sepse vektorët $\displaystyle \vec{A}B$ , $\displaystyle \vec{C}D$ kanë kahe të njëjtë.
Vlera absolute e k është $\displaystyle |k|=\frac{|\vec{C}D|}{|\vec{A}B|}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$ . Pra, $\displaystyle |k|=\frac{|\vec{C}D|}{|\vec{A}B|}=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$