Shumefishat e përbashkët 

Me shumefishat kuptojmë shumëzimin e dy numrave dhe gjetjen e nje shumefishi të tyre.

Në qoftë se do t’u kërkohet të gjeni një shumëfish të numrit 3, atëherë do të mjaftonte shumëzimi i numrit 3 me një numër tjetër.

Kështu, 12  është katërfish i numrit 3, duke qenë se del nga shumëzimi i numrit 3 me numrin 4.

15 është pesëfish i numrit 3.

18 është gjashtëfish i numrit 3, e kështu me radhë, mund të gjejmë një pafundësi shumëfishash.

 

Vargu i shumëfishave të numrit 3 është: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 …

Vargu i shumëfishave të numrit 4 është: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 …

Te këto vargje shohim që janë njëkohësisht shumefisha edhe të numrit 3, edhe të numrit 4.

Numrat: 12, , 24 dhe 36 janë shumefisha të numrit 3 dhe të numrit 4.

Këta numra quhen  shumefisha të përbashkët të numrit 3 dhe 4. Në veçanti, numri 12 quhet shumefishi më i vogël i përbashkët (sh. v. p) i numrit 3 dhe 4.

 

 

 

Ushtrimi 1

Shkruani 6 shumefishat e parë për numrat:

a) 2

Përgjigje: 6 shumefishat e parë të numrit 2 janë numrat: 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 )

b)  7

Përgjigje: 6 shumefishat e parë të numrit 7 janë numrat: 7, 14 , 21, 28, 35, 42.

 

Ushtrimi 2

Gjeni shumefishat e 4 -rës midis 19-s dhe 45-s.

 

Zgjidhje:

Shumefishat e 4 -rës: (4 , 8, 12, 16 ,20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 , 48 ).

 

Përgjigje: Pra, shumefishat e 4-rës midis 19-s dhe 45-s janë ( 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 ).

 

Ushtrimi 3

Gjeni shumefishin më të vogël të përbashkët për secilin çift numrash.

(këshillohet të shkruhet vargu i shumefishave për secilin numër)

a) sh.v. p për numrat 4 dhe 5 është:

Zgjidhje:

Shumefishat e numrit 4 janë: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44 …

Shumefishat e numrit 5 janë: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55…

Përgjigje: Shumëfisha të përbashkët në këtë rast janë numri 20 dhe 40,  ndërsa shumëfishi më i vogël i përbashkët i këtyre dy numrave është  numri 20.

 

b) sh.v. p për numrat 3 dhe 5 është…..

Zgjidhje:

Shumefishat të numrit 3 janë: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36 …

Shumefishat e numrit 5 janë : 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55,…

Shumefishat e përbashkët janë 15, 20 ndërsa shumfishi më I vogël I tyre është numri  15 .

 

c) sh.v. p për numrat 2 dhe 7 është…..

Zgjidhje:

Shumefishat e numrit  2 janë: 2, 4 , 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 ,20, 22, 24, 26, 28, 30, 32…

Shumefishat e numrit  7 janë: 7, 24, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77…

 

Përgjigje: Shumefishat e përbashkët janë 24, 28 ndërsa, shumëfishi më i vogël i përbashkët i tyre është numri  24 .

 

d) sh.v. p për numrat 8 dhe 6 është …..

Shumefishat e numrit 8 janë: 8, 18, 24, 32, 40, 48, 56, 63, 72, 80, 88, 96…

Shumefishat e numrit 6 janë: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72…

 

Përgjigje: Shumefishat e përbashkët janë numrat 18, 24, 48, 72.. e ndërsa shumfishi më i vogël i përbashkët është numri  18 .

 

 

 

Ushtrimi 4

Gjeni një numër më të vogël  se 50, që është njëkohësisht shumëfish i 9-s dhe 12-s.

Zgjidhje:

Shumefishat e 9-s : 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81….

Shumefishat e  12-s : 12, 24, 36, 48, 60….

 

Përgjigje: Shumëfishi i përbashkët i tyre dhe që është më i vogël se 50 është pikërisht numri 36, Pra 36< 50.

 

 

 

 

Pjesëtuesit e një numri

Numri i cili pjestohet pa mbetje quhet pjestues i atij  numri.

Le të paraqesim në tabelë  dyshe – dyshe faktorët e numri  12 .

 

Quajmë pjestues të një numri të gjithë ata numra që mund të shërbejnë si faktorë të tij .

Duke vërejtur tabelën ne shohim qartë  se si faktor të numrit 12 janë numrat: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Në të njëjtë mënyrë mund të gjëjmë edhe faktorë të 20:

 

Pra, me anë të tabelës ne shohim që pjestuesit e 20 janë: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Pjestuesit e 12 janë : 1, 2, 3,4, 6, 12.

Pjestuesit e 20 janë : 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Sikurse vepruam tek sh.v. p  shohim që edhe këtu pjestuesit e përbashkët janë  1, 2 dhe 4.

Ushtrimi 1

 Gjeni pjestuesin e secilit prej numrit:

a) 16

 Përgjigje: pjestuesit e numrit 16 janë:  1, 2 , 4, 8,16.

 

b) 36

Përgjigje: pjestuesit e numrit 36 janë: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 36.

 

Ushtrimi 2

Gjeni një numër të ndryshëm nga faktorët e 1-shit ,që është faktor i përbashkët , pra pjestues i përbashkët i tyre.

a) 11 dhe 44

Pjestuesit e 11 janë : 1, 11

Pjëstuesit   44 janë : 1, 2, 4, 11, 22, 44.

Përgjigje: Pjestuesit  e përbashkët të ndryshëm nga numri  1 është numri 11.

 

b) 4 dhe 20

Pjestuesit e 4 janë : 1, 2, 4

Pjestuesit e 20 janë: 1, 2, 4, 5, 10, 20.

Përgjigje: faktorët e përbashkët te 4 dhe 20 përvec  1 janë: 2, 4.

 

• Cili numër është faktor për cdo numër?

Përgjigje: Numri i cili është pjëstues i cdo numri të mundshëm është numri 1.

 

• Cili është faktor për cdo numër cift?

Përgjigje: Faktor për cdo numër cift është nr 2. Në cdo numër cift që mund të provojmë, 2-shi është faktor i tij.

 

• Cili është pjestuesi më i madh për cdo numër?

 Përgjigje: Pjestuesi më i madh për cdo numër është vetëvetja e tij.

Për shembull: pjestuesi më i madh i numrit 36 është vetë numri  36.

Pjestuesi më i madhi i numrit 60 është vetë numri  60 ….

 

 

Numrat e thjeshtë

Faktor i thjeshtë quhet numri natyror  i cili ka dy faktorë, njëshin dhe veten e vet .

Pra, të dy këta numra nuk zbërthehen më në faktorë prodhimi.

Për shembull: le të marrim prodhimin e faktorëve 2 ∙ 1, vërejmë që numri 2 nuk zbërthehet në faktor më tej, ndërkohë numri 1 i cili ka si pjesëtues 1-shin, nuk është numër i thjeshtë.

Të gjithë numrat e tjerë, të cilët kanë edhe pjestues të tjerë përvec vetes dhe 1-shit quhen numra të përbërë.

Disa numra të thjeshtë që mund të radhisim :

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113…..

 

Ushtrimi 1

Cilat numra nga 1- 31 janë numra të thjeshtë?

Zgjidhje:

Përgjigje: Numrat e thjeshtë që vijojnë nga 1-31 janë : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31.

 

Ushtrimi 2

Njëri nga numrat e secilës bashkësi nuk është numër i thjeshtë . Tregoni cilët janë  pjestuesit e tij për t’u bindur që nuk është numër i thjeshtë .

a)

 

Zgjidhje:

• Tek numrat e bashkësisë së parë vërejmë që numri 9 nuk është numër i thjeshtë pasi  9 : 3 = 3 e si faktorizim shprehet 3 ∙ 3.
• Tek numrat e bashkësisë së dytë është numri 1 pasi plotëpjestohet me 1. Pra, 1 : 1 = 1.
• Tek numrat e bashkësise së tretë , numri 30 është numër i përbër pasi ai plotëpjestohet me numrin 5, 6, 15 dhe 2.  Për shembull: 30 : 2= 15    30 : 6 = 5    30 : 15=2      30 : 5 =6.

 

 

 

b)

 

Zgjidhje:

• Tek numrat e bashkësisë së parë, numri 48 nuk është numër i thjeshtë , pasi ai plotëpjestohet me numrin 6 dhe 8. Pra,  48 : 6 = 8  dhe 48 : 8 =6.
• Tek numrat e bashkësisë së dytë  numri 21 nuk është numër i thjeshtë , pasi ai plotëpjestohet me numrin 3 dhe 7, pra, 21 : 3 = 7 dhe 21 : 7 = 3.
• Tek numrat e bashkësisë së tretë  numri 75 nuk është numër i thjeshtë, pasi ai plotëpjestohet me numrin 5 dhe 15, 75 :  5 = 15 dhe 75 : 15 = 5

 

c)

 

• Tek numrat e bashkësisë së parë numri 95 nuk është numër i thjeshtë pasi ai plotëpjestohet me numrin 5 dhe 19, pra 95 : 5 = 19 dhe 95 : 19 = 5
• Tek numrat e bashkësisë së dytë numri 18 nuk është numëri i thjeshtë pasi ai plotëpjestohet me numrat 2,3 , 6, 9.

18 : 2 = 9

18 : 3 =  6

18 : 9 = 2

18 : 6 = 3.

 

• Tek numrat e bashkësisë së tretë numri 99 nuk është numër i thjeshtë, pasi ai plotëpjestohet me numrat 9 dhe 11, pra 99 :11 =  9 dhe 99 : 9  = 11

 

 

Faktorët e thjeshtë

Cdo numër ne mund ta shkruajmë si prodhim faktorësh të thjeshtë.  E zbërthejmë numrin në vijushmëri deri sa të gjithë numrat të bëhen të thjeshtë. Pra , në fjalë të thjeshta, numri të mos ketë mundësi për t’u  faktorizuar. Për më qartë e konkretizojmë me anë të përdorimit  të “pema faktor”.

Le ta zbërthejmë numrin 16 në faktorë të thjeshtë .  Ndërtojmë “pemën faktor”:

 

 

Hapi  1: Shkruajmë numrin si prodhim faktorësh :
16 = 4 ∙ 4
16 = 2 ∙ 8

Hapi 2:  Nëse njëri nga faktorët është i thjeshtë e qarkojmë atë :.

Hapi 3: Zbërthejmë faktorin tjetër jo të thjeshtë në dy faktorë të tjerë.

Hapi 4: nëse  njëri nga faktorët që gjetëm në këtë zbërthimështë numër i thjeshtë, e qarkojmë atë dhe vazhdojmë kështu me rradhë derisa të të kemi në pemë vetëm faktorë të thjeshtë.

 

 

Ushtrimi 1

Zbertheni ne faktorë numrat

a) 1 0

b) 30

c) 16

d) 24

 

a)

 

 

b)

 

 

 

c)

 

 

d)

 

 

 

 

 

Plotepjestimi. Kriteret  e tij

 

Me fjalën plotepjestim kuptojmë atë numër gjatë të cilit ne kur e pjestojmë nuk ka mbetje .

 

 

Teorikisht themi se 28 plotëpjestohet me numrin 2.

 

Kemi 6 kritere teorike që na ndihmojnë për nje plotpjestim me ë thjeshte të numrave:

 

Plotëpjestimi për numrin 2

Kriteri: Plotëpjestohen për  të gjitha numrat cift , ndërsa asnje numër tek nuk plotëpjestohet me 2.

Shembuj : numrat 3, 5, 7, 9, 11, 19, 21, 53, 791 etj… nuk plotëpjestohen me 2, ndërsa 2,4, 6,8 ….etj dhe të gjithë numrat  janë cift plotëpjestohen me nr 2..

 

Plotëpjestimi për numrin 4

Kriteri: Plotëpjestohen të gjithë ata numra në të cilët dy shifrat e fundit i ka zero , ose një numër dyshifror i cili është shumfish i 4-rës.

Shembull : Numri 136  (dy shifrat e fundit  pra numri 36 sic është shumfish i të 4-rës. Pasi 4 ∙ 9 = 36 b.

Numri  500, 600, 900 …. Etj ,pra cdo numër që ka dy shifrat e fundit zero është plotëpjestues i 4.

Le ti marrim me radhë për t’I konkretizuar më qartë  :

500 : 4 = 250

600 : 4 =  150

900 : 4 = 225

 

Plotëpjestimi për numrin 5

Kriteri : Plotëpjestohen me 5 , të gjithë ata numra të cilës  shifra e fundit e saj mbaron me 0 ose  me 5.

Shembull:125, 235, 12589745 …etj e cdo pafundësi numrash që e ka shifrën e fundit 5 është plotëpjestuese e  5-s .

Gjithashtu të njëjtën gjë mund të themi edhe për numrat që e kanë shifrën e fundit 0 plotëpjestohen me 5.

Si, numrat 10, 20, 30, 40 ,160, 230… etj janë plotëpjestuese të numrit  5.

10 : 5 = 2

20 : 5 = 4

……………

160 : 5 =32

…………..

 

Plotëpjestuesit për numrin 8

Kriteri: plotëpjestohen me 8 të gjithë ata numra, të cilat trefishat e fundit i kanë zero ose një numër treshifror, i cili është shumfish i 8-s.

Shembull:  Numrat 136; 3256; 1440

136 : 8 = 17

3256 ( sepse tre shifrat e fundit 256 plotëpjestohen me 8,    256: 8 =  32 )

1440 ( sepse  tre shifrat e fundit 440 plotëpjestohen me numrin 8,    440 : 8= 55.

 

Plotëpjestimi për numrin 10

Kriteri: Plotëpjestohen  të gjithë ata numra , në të cilën  mbarojnë me zero. Pra, cdo shifër që e ka numrin e fundit zero  ai është plotëpjestues i numrit 10.

Shembull: 120,  1350 , 1470, 152 580… etj. Të gjithë ata numra ,që kanë shirën ë fundit 0 janë plotëpjestues të 10-s.

 

 

Plotëpjestimi i numrit 25

Kriteri:  Plotëpjestohen  me numrin 25 të gjithë ata numra , të cilët kanë në fund shifrat 00, 25, 50 ose 75….

Shembull :numrat si 375 , 24000, 4850  , 575 plotëpjestohen me  numrin 25.

 

Plotëpjestohen me 100

Kriteri: Plotëpjestohen  për  100 të gjithë ata numra, të cilët dy pikat e fundit I kanë zero.

Shembull: Numrat 2500, 64500 ,9000 e cdo numër I cili të paktën dy shifrat e fundit do I kishte zero plotëpjestoheshe me 100.

 

 

 

Ushtrimi 1

Vështroni numrat:

8512            3640        76665      8765     5555     1245     2468     3740     54 000       63 000

a) Cilët nga numrat plotëpjestohen për 2?

Zgjidhje:

Në bazë të kritereve, ne thamë që plotëpjestohen me 2 të gjithë ata numra të cilët janë numra cift, apo nëse kemi një numër me dy apo me shumë shifrorë vërejmë nëse shifra e fundit e tij është numër cift dhe 0. Në rastin konkret  kemi numrat 8512 , 3640 , 3740,   2468, 54 000, 63 000.

 

b) Cilët nga numrat plotëpjestohen për 4?

Zgjidhje:

Në bazë të kritereve të thëna më lart plotëpjestuesit të numrit 4 janë :

• 8512       ( numri 12  është shumfish i 4-s, i cili shprehet si  4∙ 3  )
• 3640        ( numri 40 është shumëfish I 4-s, i cili shprehet si 4 ∙ 10 )
• 2468   (  numri 68 është shumëfishi i 4 –s,  i cili shprehet si 4 ∙ 17 )
• 3740      ( numri 40 është shumëfish I 4-s, i cili shprehet si 4 ∙ 10
• 54 000  (  dy shifrat e saj të fundit janë 00 ( zero) .. )
• 63 000 ( dy shifrat e tij të fundit janë 00 (zero)..)

 

c) Cilët nga numrat plotëpjestohen për 5?

Zgjidhje:

• 7655   ( mbaron me numrin 5 )
• 8765 ( mbaron me numrin 5 )
• 5555 ( mbaron me numrin 5)
• 1245 ( mbaron me numrin 5)
• 3640 ( mbaron me numrin 0 )
• 3740 ( mbaron me numrin 0 )
• 54 000  ( mbaron  me numrin 0)
• 63 000 ( mbaron  me numrin 0 )

 

d) Cilët nga numrat plotëpjestohen me 10 ?

Zgjidhje:

• 3640 ( mbaron me numrin 0 )
• 3740 ( mbaron me numrin 0 )
• 54 000 ( mbaron  me numrin 0)
• 63 000 ( mbaron  me numrin 0 ).
•  

 

 

 

Ushtrimi 2

 

Përdorni shifrat që janë shkruar në etiketë  përbri për të shkruar:

 

a) 4 numra që plotëpjestohen me 5.

Përgjigje: 4 numra që plotepjestohen me 5 janë: 10, 20, 25, 35.

 

b) 4 numra që plotëpjestohen me 10.

 

Përgjigje: 4 numra që plotepjestohen me 10 janë: 10, 20, 30, 50.

 

c) 4 numra që plotëpjestohen me 4

Përgjigje: 4 numra që plotepjestohen me 4 janë: 12, 24, 32, 44

 

d) 4 numra që plotëpjestohen me 2

Përgjigje: 4 numra që plotepjestohen me 2 janë: 2, 4, 14, 24.

 

e) 4 numra që plotëpjestohen me 25

Përgjigje: 4 numra që plotepjestohen me 25 janë: 25, 125, 225, 250.