Inekuacione me nje ndryshore | Inekuacioni i fuqise se pare

Inekuacione të njëvlershëm

Përkufizim: “Zgjidhje të inekuacionit me një ndryshore quhet çdo vlerë e ndryshores, që e kthen inekuacionin në mosbarazim numeric të vërtetë me të njëjtin kah”.

Shembull 1

Kontrolloni, nëse janë zgjidhje për inekuacionin $\displaystyle {{x}^{2}}+2<x+9$ vlerat e x-it:

a) 4

b) 2

Zgjidhje

Zëvëndësojmë numrat tek inekuacioni ynë:

a) $\displaystyle {{4}^{2}}+2<4+9$ $\displaystyle ==16+2<13$ $\displaystyle 18<13$ Numri 4 nuk është zgjidhje e inekuacionit $\displaystyle {{x}^{2}}+2<x+9$ . b) $\displaystyle {{2}^{2}}+2<2+9$ $\displaystyle 4+2<11$ $\displaystyle 6<11$ Mosbarazimi është i vërtetë, ndaj numri është zgjidhje e inekuacionit $\displaystyle {{x}^{2}}+2<x+9$ .

Përkufizim: “Dy inekuacione me të njëjtën ndryshore quhen të njëvlershëm në bashkësinë E, në qoftë se ato kanë të njëjtën bashkësi zgjidhjesh në E”.

Sipas këtij përkufizimi, rrjedh: “Kur dy inekuacione janë të njëvlershëm në E, çdo zgjidhje e inekuacionit të parë është zgjidhje edhe për inekuacionin e dytë dhe anasjelltas”.

Shembull 1

A janë të njëvlershëm në Q inekuacionet:

a) $\displaystyle 2x>0$ dhe $\displaystyle 5x>0$

b) $\displaystyle -2x<-1$ dhe $\displaystyle x>\frac{1}{2}$

Zgjidhje

a) $\displaystyle 2x>0$ dhe $\displaystyle 5x>0$

Zgjidhim të dy inekuacionet:

$\displaystyle 2x>0$

$\displaystyle x>\frac{0}{2}$

$\displaystyle x>0$

$\displaystyle 5x>0$

$\displaystyle x>\frac{0}{5}$

$\displaystyle x>0$

Shohim që këto dy inekuacione kanë të njëjtat zgjidhje, pra x>0, ndaj këta dy inekuacionë janë të njëvlershëm.

b) $\displaystyle -2x<-1$ dhe $\displaystyle x>\frac{1}{2}$

Zgjidhim inekuacionin e parë dhe krahasojmë zgjidhjet.

$\displaystyle x>\frac{-1}{-2}$ (Zbatim i teoremës 4, do e shikojmë më poshtë).

$\displaystyle x>\frac{1}{2}$ .

Shohim që këto dy inekuacione kanë të njëjtat zgjidhje, ndaj këta inekuacione quhen të njëvlershëm.

Teoremë 1: “Në qoftë se në njërën anë të inekuacionit $\displaystyle f\left( x \right)>g\left( x \right)$ kryejmë shndërrrime identike në bashkësinë Q, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të në Q”.

Teoremë 2: “Në qoftë se kalojmë kufizën nga njëra anë e inekuacionit në anën tjetër, duke ndërruar shenjën e saj, marrim inekuacion të njëvlershëm me të parin”.

Teoremë 3: “Në qoftë se të dyja anët e një inekuacioni i shumëzojmë me të njëjtin numër pozitiv, atëherë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të parin në Q”.

Teoremë 4: “Në qoftë se të dyja anët e një inekuacioni i shumëzojmë me të njëjtin numër negative dhe ndryshojmë kahun, atehërë marrim një inekuacion të njëvlershëm me të parin në Q”.

Inekuacioni i fuqisë së parë me një ndryshore

Çdo inekuacion me një ndryshore, që sillet me shndërrime të njëvlershme në njërën nga trajtat $\displaystyle ax+b>0$ , $\displaystyle ax+b\ge 0$ , $\displaystyle ax+b<0$ ose $\displaystyle ax+b\le 0$ , ku a, b janë numra realë të dhënë dhe $\displaystyle a\ne 0$ , quhet inekuacion i fuqisë së parë me një ndryshore.

Shembull 1

Të zgjidhet inekuacioni $\displaystyle 3\left( x+5 \right)>2x-1$

Zgjidhje

Për të zgjidhur inekuacionin, veprojmë njësoj si në rastin e ekuacionit:

$\displaystyle 3\left( x+5 \right)>2x-1$

$\displaystyle 3x+15>2x-1$ (Zbatim i vetisë së përdasisë).

$\displaystyle 3x-2x>-1-15$ (Zbatim i teoremës 2)

$\displaystyle x>-14$ , kjo quhet zgjidhje e inekuacionit.