Formula per sinusin dhe kosinusin | Shuma dhe diferenca e tyre

Formula për cos(x₁-x₂)

Marrim $\displaystyle \cos \left( 90{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right)$ dhe $\displaystyle \cos 90{}^\text{o}-\cos 60{}^\text{o}$ dhe i krahasojmë. A janë të barabartë?

$\displaystyle \cos \left( 90{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right)=\cos 30{}^\text{o}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ , ndërsa $\displaystyle \cos 90{}^\text{o}-\cos 60{}^\text{o}=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$ .

Pra, $\displaystyle \cos \left( 90{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right)\ne \cos 90{}^\text{o}-\cos 60{}^\text{o}$ .

Nga shndërrime trigonometrike marrim formulën për diferencën e kosinuseve:

$\displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$ .

Ushtrimi 1

Gjeni $\displaystyle \cos 120{}^\text{o}$

Zgjidhje

Për të gjetur $\displaystyle \cos 120{}^\text{o}$ , zbatojmë formulën e diferencës së kosinuseve:

$\displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$ $\displaystyle \cos 120{}^\text{o}$ e shkruajmë si $\displaystyle \cos \left( 180{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right)$ dhe do të kemi:

$\displaystyle \cos \left( 180{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right)=\cos 180{}^\text{o}\cdot \cos 60{}^\text{o}+\sin 180{}^\text{o}\cdot \sin 60{}^\text{o}$

$\displaystyle =-1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle =-1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}$ .

Formula për cos(x₁+x₂)

Në identitetin që kemi për cos(x₁+x₂), zëvëndësojmë $\displaystyle {{x}_{2}}$ me $\displaystyle \left( -{{x}_{2}} \right)$ .

Do të kemi:

$\displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}-\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$

, sepse $\displaystyle \cos \left( -{{x}_{2}} \right)=\cos \left( {{x}_{2}} \right)$

dhe $\displaystyle \sin \left( -{{x}_{2}} \right)=-\sin \left( {{x}_{2}} \right)$

Ushtrimi 2

Të njehësohet $\displaystyle \cos 105{}^\text{o}$

Zgjidhje

$\displaystyle \cos 105{}^\text{o}$

e shkruajmë si $\displaystyle \cos \left( 60{}^\text{o}+45{}^\text{o} \right)$

dhe zbatojmë formulën për gjetjen e shumës së kosinuseve: $\displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}-\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$

Bëjmë zëvëndësimet:

$\displaystyle \cos \left( 60{}^\text{o}+45{}^\text{o} \right)=\cos 60{}^\text{o}\cdot \cos 45{}^\text{o}-\sin 60{}^\text{o}\cdot \sin 45{}^\text{o}$

$\displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{4}$

$\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\left( 1-\sqrt{3} \right)}{4}$

Formula për sin(x₁+x₂)

Në identitetin për $\displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$ , zëvëndësojmë $\displaystyle {{x}_{1}}$ me $\displaystyle \left( 90{}^\text{o}-{{x}_{1}} \right)$ dhe marrim:

$\displaystyle \cos \left( 90{}^\text{o}-{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\cos \left( 90{}^\text{o}-{{x}_{1}} \right)\cdot \cos {{x}_{2}}+\sin \left( 90{}^\text{o}-{{x}_{1}} \right)\cdot \sin {{x}_{2}}$

$\displaystyle \cos \left[ 90{}^\text{o}-\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \right]=\sin {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\cos {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$