Formula për cos(x1-x2)
Marrim dhe
dhe i krahasojmë. A janë të barabartë?
, ndërsa
.
Pra, .
Nga shndërrime trigonometrike marrim formulën për diferencën e kosinuseve:
.
Ushtrimi 1
Gjeni
Zgjidhje
Për të gjetur , zbatojmë formulën e diferencës së kosinuseve:
*** QuickLaTeX cannot compile formula: \displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[latex \displaystyle \cos 120{}^\text{o}$ e shkruajmë si $latex \displaystyle \cos \left( 180{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right)$ dhe do të kemi: $latex \displaystyle \cos \left( 180{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right)=\cos 180{}^\text{o}\cdot \cos 60{}^\text{o}+\sin 180{}^\text{o}\cdot \sin 60{}^\text{o}$ $latex \displaystyle =-1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $latex \displaystyle =-1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}$. </div> <!--Ads2--> <h2 style="text-align: center;"><span style="color: #0000ff;"><strong>Formula për cos(x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>)</strong></span></h2> Në identitetin që kemi për cos(x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>), zëvëndësojmë $latex \displaystyle {{x}_{2}}$ me $latex \displaystyle \left( -{{x}_{2}} \right)$. Do të kemi: <div style="overflow-x: auto;">$latex \displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}-\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$, sepse $latex \displaystyle \cos \left( -{{x}_{2}} \right)=\cos \left( {{x}_{2}} \right)$ dhe $latex \displaystyle \sin \left( -{{x}_{2}} \right)=-\sin \left( {{x}_{2}} \right)$.</div> <h3> </h3> <h3> </h3> <h3> </h3> <h3 style="text-align: center;"><span style="text-decoration: underline; color: #ff0000;"><strong>Ushtrimi 2</strong></span></h3> Të njehësohet $latex \displaystyle \cos 105{}^\text{o}$ <h4 style="text-align: center;"><span style="color: #008000;"><strong>Zgjidhje</strong></span></h4> <div style="overflow-x: auto;">$latex \displaystyle \cos 105{}^\text{o}$ e shkruajmë si $latex \displaystyle \cos \left( 60{}^\text{o}+45{}^\text{o} \right)$ dhe zbatojmë formulën për gjetjen e shumës së kosinuseve:$latex \displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}-\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$</div> Bëjmë zëvëndësimet: <div style="overflow-x: auto;">$latex \displaystyle \cos \left( 60{}^\text{o}+45{}^\text{o} \right)=\cos 60{}^\text{o}\cdot \cos 45{}^\text{o}-\sin 60{}^\text{o}\cdot \sin 45{}^\text{o}\] *** Error message: Display math should end with $$. leading text: \[latex \displaystyle \cos 120{}^\text{o}$ </pre>latex \displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} *** Error message: Missing $ inserted. leading text: \displaystyle
Formula për sin(x1+x2)
Në identitetin për , zëvëndësojmë
me
dhe marrim:
*** QuickLaTeX cannot compile formula: \displaystyle \cos \left( 90{}^\text{o}-{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\cos \left( 90{}^\text{o}-{{x}_{1}} \right)\cdot \cos {{x}_{2}}+\sin \left( 90{}^\text{o}-{{x}_{1}} \right)\cdot \sin {{x}_{2}}<pre class="ql-errors">*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[latex \displaystyle \cos \left[ 90{}^\text{o}-\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \right]=\sin {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\cos {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$, pra: $latex \displaystyle \sin \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\sin {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\cos {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$. </div> Kemi pasur parasysh faktin që $latex \displaystyle \sin \left( 90{}^\text{o}-\alpha \right)=\cos \alpha $. <h3 style="text-align: center;"><span style="text-decoration: underline; color: #ff0000;"><strong>Ushtrimi 3</strong></span></h3> Të gjendet $latex \displaystyle \sin 75{}^\text{o}$. <h4 style="text-align: center;"><span style="color: #008000;"><strong>Zgjidhje</strong></span></h4> Shkruajmë $latex \displaystyle \sin 75{}^\text{o}=\sin \left( 45{}^\text{o}+30{}^\text{o} \right)$. Zbatojmë formulën për shumën e sinuseve: <div style="overflow-x: auto;">$latex \displaystyle \sin \left( 45{}^\text{o}+30{}^\text{o} \right)=\sin 45{}^\text{o}\cdot \cos 30{}^\text{o}+\cos 45{}^\text{o}\cdot \sin 30{}^\text{o}\] *** Error message: Display math should end with $$. leading text: ...}_{2}}+\cos {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$, </pre>latex \displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2} *** Error message: Missing $ inserted. leading text: \displaystyle
Formula për sin(x1-x2)
Ka vend identiteti .
Ushtrimi 4
Gjeni .
Zgjidhje
Shkruajmë .
Zbatojmë formulën për diferencën e sinuseve:
.