Home / Formula për sinusin dhe kosinusin e shumës dhe diferencës së dy këndeve

Formula për sinusin dhe kosinusin e shumës dhe diferencës së dy këndeve

formula për sin

Formula për cos(x1-x2)

Marrim \displaystyle \cos \left( 90{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right) dhe \displaystyle \cos 90{}^\text{o}-\cos 60{}^\text{o} dhe i krahasojmë. A janë të barabartë?

\displaystyle \cos \left( 90{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right)=\cos 30{}^\text{o}=\frac{\sqrt{2}}{2}, ndërsa \displaystyle \cos 90{}^\text{o}-\cos 60{}^\text{o}=0-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}.

Pra, \displaystyle \cos \left( 90{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right)\ne \cos 90{}^\text{o}-\cos 60{}^\text{o}.

 

Nga shndërrime trigonometrike marrim formulën për diferencën e kosinuseve:

\displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}.

 

 

 

Ushtrimi 1

Gjeni \displaystyle \cos 120{}^\text{o}

 

Zgjidhje

Për të gjetur \displaystyle \cos 120{}^\text{o}, zbatojmë formulën e diferencës së kosinuseve:

    \displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}<span class="ql-right-eqno"> </span><span class="ql-left-eqno"> </span><img src="https://detyra.al/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-641d1cbed420e32cc3773eb86f01eafc_l3.png" height="418" width="803" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[latex \displaystyle \cos 120{}^\text{o}$ e shkruajmë si $latex \displaystyle \cos \left( 180{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right)$ dhe do të kemi: $latex \displaystyle \cos \left( 180{}^\text{o}-60{}^\text{o} \right)=\cos 180{}^\text{o}\cdot \cos 60{}^\text{o}+\sin 180{}^\text{o}\cdot \sin 60{}^\text{o}$ $latex \displaystyle =-1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $latex \displaystyle =-1\cdot \frac{1}{2}+0\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{1}{2}$. </div> <!--Ads4--> <h2 style="text-align: center;"><span style="color: #0000ff;"><strong>Formula për cos(x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>)</strong></span></h2> Në identitetin që kemi për cos(x<sub>1</sub>+x<sub>2</sub>), zëvëndësojmë $latex \displaystyle {{x}_{2}}$ me $latex \displaystyle \left( -{{x}_{2}} \right)$. Do të kemi: <div style="overflow-x: auto;">$latex \displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}-\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$, sepse $latex \displaystyle \cos \left( -{{x}_{2}} \right)=\cos \left( {{x}_{2}} \right)$ dhe $latex \displaystyle \sin \left( -{{x}_{2}} \right)=-\sin \left( {{x}_{2}} \right)$.</div> <h3></h3> <h3></h3> <h3></h3> <h3 style="text-align: center;"><span style="text-decoration: underline; color: #ff0000;"><strong>Ushtrimi 2</strong></span></h3> Të njehësohet $latex \displaystyle \cos 105{}^\text{o}$ <h4 style="text-align: center;"><span style="color: #008000;"><strong>Zgjidhje</strong></span></h4> <div style="overflow-x: auto;">$latex \displaystyle \cos 105{}^\text{o}$ e shkruajmë si $latex \displaystyle \cos \left( 60{}^\text{o}+45{}^\text{o} \right)$ dhe zbatojmë formulën për gjetjen e shumës së kosinuseve:$latex \displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}-\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$ </div> Bëjmë zëvëndësimet: <div style="overflow-x: auto;">$latex \displaystyle \cos \left( 60{}^\text{o}+45{}^\text{o} \right)=\cos 60{}^\text{o}\cdot \cos 45{}^\text{o}-\sin 60{}^\text{o}\cdot \sin 45{}^\text{o}\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>latex \displaystyle =\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}}{4}

\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\left( 1-\sqrt{3} \right)}{4}

 

 

 

 

 

Formula për sin(x1+x2)

Në identitetin për \displaystyle \cos \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\cos {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\sin {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}, zëvëndësojmë \displaystyle {{x}_{1}} me \displaystyle \left( 90{}^\text{o}-{{x}_{1}} \right) dhe marrim:

    \displaystyle \cos \left( 90{}^\text{o}-{{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\cos \left( 90{}^\text{o}-{{x}_{1}} \right)\cdot \cos {{x}_{2}}+\sin \left( 90{}^\text{o}-{{x}_{1}} \right)\cdot \sin {{x}_{2}}<span class="ql-right-eqno"> </span><span class="ql-left-eqno"> </span><img src="https://detyra.al/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-18ffb67a4e749f522b5f2c79af0d0388_l3.png" height="213" width="657" class="ql-img-displayed-equation " alt="\[latex \displaystyle \cos \left[ 90{}^\text{o}-\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right) \right]=\sin {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\cos {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$, pra: $latex \displaystyle \sin \left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)=\sin {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}+\cos {{x}_{1}}\cdot \sin {{x}_{2}}$. </div> Kemi pasur parasysh faktin që $latex \displaystyle \sin \left( 90{}^\text{o}-\alpha \right)=\cos \alpha $. <h3 style="text-align: center;"><span style="text-decoration: underline; color: #ff0000;"><strong>Ushtrimi 3</strong></span></h3> Të gjendet $latex \displaystyle \sin 75{}^\text{o}$. <h4 style="text-align: center;"><span style="color: #008000;"><strong>Zgjidhje</strong></span></h4> Shkruajmë $latex \displaystyle \sin 75{}^\text{o}=\sin \left( 45{}^\text{o}+30{}^\text{o} \right)$. Zbatojmë formulën për shumën e sinuseve: <div style="overflow-x: auto;">$latex \displaystyle \sin \left( 45{}^\text{o}+30{}^\text{o} \right)=\sin 45{}^\text{o}\cdot \cos 30{}^\text{o}+\cos 45{}^\text{o}\cdot \sin 30{}^\text{o}\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/>latex \displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}

\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\left( \sqrt{3}+1 \right)}{4}

 

 

 

 

 

Formula për sin(x1-x2)

Ka vend identiteti \displaystyle \sin \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\sin {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}-\sin {{x}_{2}}\cdot \cos {{x}_{1}}.

 

 

 

Ushtrimi 4

Gjeni \displaystyle \sin 15{}^\text{o}.

 

Zgjidhje

Shkruajmë \displaystyle \sin 15{}^\text{o}=\sin \left( 45{}^\text{o}-30{}^\text{o} \right).

Zbatojmë formulën për diferencën e sinuseve:

\displaystyle \sin \left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)=\sin {{x}_{1}}\cdot \cos {{x}_{2}}-\sin {{x}_{2}}\cdot \cos {{x}_{1}}\displaystyle \sin \left( 45{}^\text{o}-30{}^\text{o} \right)=\sin 45{}^\text{o}\cdot \cos 30{}^\text{o}-\sin 30{}^\text{o}\cdot \cos 45{}^\text{o}

\displaystyle =\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}

\displaystyle =\frac{\sqrt{2}\left( \sqrt{3}-1 \right)}{4}.

Copyright © detyra.al
Postime te ngjashme: